dh+1 - am IFM

1.3. RÄUMLICHE DISKRETISIERUNG MIT FINITEN ELEMENTEN
E
E
G
E
M
Bild 1.4: Aufspaltung der Normalverzerrung E ζζ in einen geometrischen Anteil Eζζ G und
eine materiellen Anteil Eζζ M , siehe auch Hauptmann [49]
(1.52) mit der Kinematik (1.6) wird folgendes von der Netzweite h abhängiges Variationsproblem
gelöst:
ρ 0 (ü h ,w h ) B0 + c m ρ 0 ( ˙u h ,w h ) B0 + c k a h,T (0; ˙u h ,w h ) + a h (u h ,w h ) = F u (w h ) (1.98)
∀w h ∈ W h
0 ≤ t ≤ T
Diese Netzabhängigkeit der Kinematik muss bei der Schätzung des räumlichen Diskretisierungsfehlers
berücksichtigt werden.
Modifikation des Stoffgesetzes zur Vermeidung des Dickenlockings
Eine alternative Möglichkeit zur Vermeidung des Poisson-Dickenlockings, welche nicht
auf dem Hu-Washizu-Funktional basiert, besteht in der Reduktion des Materialgesetzes
in der Form, dass die transversalen Normalspannungen, die aus dem Querdehnungseffekt
entstehen, verschwinden. Hauptmann [49] spaltet hierfür die transversale
Normalverzerrung und -spannung in sogenannte geometrische Anteile und materielle
Anteile auf, siehe Bild 1.4:
E ζζ = E G ζζ + E M ζζ ,
S ζζ = S ζζ
G + Sζζ M , (1.99)
Der geometrische Anteil entspricht dabei der konstanten Verzerrung, welche sich aus der
linearen Verschiebungsinterpolation ergibt, wohingegen der materielle Teil den Anteil
infolge der Querdehnung darstellt.
Die materielle Normalverzerrung wird nun über die Modifikation des Stoffgesetzes so
gewählt, dass der Einfluss der Membran- und Biegeverzerrungen ausgeglichen wird und
die materielle Normalspannung S ζζ
M verschwindet.
Die Kondensation des Materialgesetzes schränkt jedoch die Anwendbarkeit der hier
vorgestellten Schalenformulierung für beliebige Materialformulierungen ein. Für das
hier verwendete St.-Venant-Kirchhoff Material ergibt diese Formulierung nur die Einschränkung,
dass die transversalen Normalspannungen nur näherungsweise bestimmt
werden können.
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