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1.3. RÄUMLICHE DISKRETISIERUNG MIT FINITEN ELEMENTEN<br />
E <br />
E <br />
G<br />
E <br />
M<br />
Bild 1.4: Aufspaltung der Normalverzerrung E ζζ in einen geometrischen Anteil Eζζ G und<br />
eine materiellen Anteil Eζζ M , siehe auch Hauptmann [49]<br />
(1.52) mit der Kinematik (1.6) wird folgendes von der Netzweite h abhängiges Variationsproblem<br />
gelöst:<br />
ρ 0 (ü h ,w h ) B0 + c m ρ 0 ( ˙u h ,w h ) B0 + c k a h,T (0; ˙u h ,w h ) + a h (u h ,w h ) = F u (w h ) (1.98)<br />
∀w h ∈ W h<br />
0 ≤ t ≤ T<br />
Diese Netzabhängigkeit der Kinematik muss bei der Schätzung des räumlichen Diskretisierungsfehlers<br />
berücksichtigt werden.<br />
Modifikation des Stoffgesetzes zur Vermeidung des Dickenlockings<br />
Eine alternative Möglichkeit zur Vermeidung des Poisson-Dickenlockings, welche nicht<br />
auf dem Hu-Washizu-Funktional basiert, besteht in der Reduktion des Materialgesetzes<br />
in der Form, dass die transversalen Normalspannungen, die aus dem Querdehnungseffekt<br />
entstehen, verschwinden. Hauptmann [49] spaltet hierfür die transversale<br />
Normalverzerrung und -spannung in sogenannte geometrische Anteile und materielle<br />
Anteile auf, siehe Bild 1.4:<br />
E ζζ = E G ζζ + E M ζζ ,<br />
S ζζ = S ζζ<br />
G + Sζζ M , (1.99)<br />
Der geometrische Anteil entspricht dabei der konstanten Verzerrung, welche sich aus der<br />
linearen Verschiebungsinterpolation ergibt, wohingegen der materielle Teil den Anteil<br />
infolge der Querdehnung darstellt.<br />
Die materielle Normalverzerrung wird nun über die Modifikation des Stoffgesetzes so<br />
gewählt, dass der Einfluss der Membran- und Biegeverzerrungen ausgeglichen wird und<br />
die materielle Normalspannung S ζζ<br />
M verschwindet.<br />
Die Kondensation des Materialgesetzes schränkt jedoch die Anwendbarkeit der hier<br />
vorgestellten Schalenformulierung für beliebige Materialformulierungen ein. Für das<br />
hier verwendete St.-Venant-Kirchhoff Material ergibt diese Formulierung nur die Einschränkung,<br />
dass die transversalen Normalspannungen nur näherungsweise bestimmt<br />
werden können.<br />
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