dh+1 - am IFM

1.3. RÄUMLICHE DISKRETISIERUNG MIT FINITEN ELEMENTEN
Das von Hauptmann [49] vorgestellte bilineare Volumen-Schalenelement mit linearer
Erweiterung der transversalen Normaldehnungen mit Hilfe der EAS-Methode ergibt
sich nun direkt aus der Diskretisierung der 7-Parameter-Formulierung in der Schalenebene.
Neben der trilinearen Verschiebungsinterpolation (1.65) wird noch folgende
bilineare Interpolation der erweiterten Verzerrungen im Element eingeführt:
β h (ξ,η) = [1 ξ η ξη] ·
⎡
⎢
⎣
⎤
α 1
α 2
α 3
α 4
⎥
⎦ (1.90)
Da die erweiterten Verzerrungen nicht direkt mit einer primären Verschiebungsgröße
gekoppelt sind, wird für den Verlauf der erweiterten Verzerrungen keine Kontinuität
über die Elementgrenzen hinweg gefordert.
Das diskrete Variationsproblem lautet in kompakter Schreibweise:
ρ 0 (ü h ,w h ) B0 + c m ρ 0 ( ˙u h ,w h ) B0 + c k (a T (0; ˙u h ,w h ) + b T (0;w h , ˙β h ))
+ a(u h ,β h ;w h ) = F u (w h ) ∀w h ∈ W h
b(u h ,γ h ) + c(β h ,γ h ) = 0 ∀γ h ∈ Γ h 0 ≤ t ≤ T
(1.91)
Die Methode der angenommenen Verzerrungen (ANS)
Die Methode der angenommenen Verzerrungen (ANS) wurde von Dvorkin & Bathe
[31] zur Vermeidung der Querschubversteifung bei Schalenelementen mit bilinearen
Ansatzfunktionen entwickelt. Im Gegensatz zur Methode der erweiterten Verzerrungen
stellt die ANS-Methode eine Reduktion des Verzerrungsfeldes dar und kann ausschließlich
zur Vermeidung geometrischer Versteifungsphänomene herangezogen werden.
Bei der ANS-Methode erfolgt die Auswertung der verschiebungskompatiblen Verzerrungen
nur an einzelnen Stützstellen im Element. Der Verzerrungsverlauf im Element
wird dann über diese Stützstellen interpoliert. Hieraus ergibt sich im Element eine
Modifikation des Verschiebungs-Verzerrungszusammenhangs.
Als variationelle Grundlage dient wiederum das Hu-Washizu-Funktional. Die Verzerrungen
werden nicht erweitert, sondern in einen erwünschten und einen versteifenden
Anteil aufgespalten:
E(u) = E ANS + E S (1.92)
Mit dieser Aufspaltung ergibt sich für das Hu-Washizu-Funktional:
Π HW (u,E ANS ,S) =
∫
W(E ANS ) + S : (E(u) − E ANS ) dV − (1.93)
} {{ }
B 0
∫
∫
E S
u · (b − ü)ρ 0 dV − u · tdA → stat. 0 ≤ t ≤ T
B 0 ∂B N
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