dh+1 - am IFM
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KAPITEL 1. KONTINUUMSMECHANIK UND DISKRETISIERUNGSMETHODEN<br />
(1.80) und (1.83) bilden somit die starke Form des Gleichgewichts des 7-Par<strong>am</strong>eter-<br />
Modells mit der erweiterten Kinematik (1.79). Gleichung (1.83) kann dabei als zusätzliche<br />
Gleichgewichtsbedingung zur Bestimmung des Verzerrungspar<strong>am</strong>eters β verstanden<br />
werden. Wichtig ist die Feststellung, dass diese starke Form unabhängig von einer<br />
räumlichen Diskretisierung in der Schalenebene ist.<br />
Das in der Schalenebene kontinuierliche Variationsproblem für das 7-Par<strong>am</strong>eter-Modell<br />
lässt sich somit kompakt darstellen als:<br />
a(u,β;w) + ρ 0 (ü,w) B0 = F u (w) ∀w ∈ W (1.84)<br />
b(u,γ) + c(β,γ) = 0<br />
∀γ ∈ Γ 0 ≤ t ≤ T<br />
Mit<br />
a(u,β;w) =<br />
b(u;γ) =<br />
c(β,γ) =<br />
∫<br />
(E(u) + Ẽ(β)) : C : (F T (u)Gradw) sym dV<br />
B<br />
∫<br />
0<br />
∫<br />
E(u) : C : Ẽ(γ)dV = E(u) : C : (ζ · γ(ξ,η)G 3 ⊗ G 3 )dV (1.85)<br />
B 0 B<br />
∫<br />
∫<br />
0<br />
Ẽ(β) : C : Ẽ(γ)dV = ζ 2 β(ξ,η) · C 3333 · γ(ξ,η)dV.<br />
B 0<br />
B 0<br />
In Gleichung (1.84) ist W der Raum, der in Dickenrichtung linearen Testfunktionen<br />
und Γ der Raum aller in Schalenebene kontinuierlichen erweiterten Verzerrungen. Auch<br />
hier wird nun wieder die konstante Rayleigh-Dämpfung eingeführt. Hierfür sind die<br />
Linearisierungen von a(·; ·, ·) und b(·, ·) im unverformten Ausgangszustand notwendig.<br />
Hierfür wird a(·; ·, ·) zunächst zerlegt in:<br />
a(u,β;w) = a(u;w) + b T (u;w,β) (1.86)<br />
Hierin ist a(u;w) die bereits in Gleichung (1.45) eingeführte Semilinearform ohne erweiterte<br />
Verzerrungen und b T (u;w,β) ist die Richtungsableitung von b(·; ·) in Richtung<br />
der Testfunktion w:<br />
b T (0;w,β) = Db(0;β) · w (1.87)<br />
Für die Linearisierung der modifizierten Form a(·; ·, ·) im Ursprung ergibt sich d<strong>am</strong>it:<br />
a T (0, 0;u,w) = a T (0;u,w) + b T (0;w,β) (1.88)<br />
Hieraus folgt nun das gemischte Variationsproblem mit Rayleigh-Dämpfung:<br />
ρ 0 (ü,w) + c m ρ 0 ( ˙u,w) B0 + c k (a T (0; ˙u,w) + b T (0;w, ˙β))<br />
+ a(u,β;w) = F u (w) ∀w ∈ W<br />
b(u,γ) + c(β,γ) = 0 ∀γ ∈ Γ 0 ≤ t ≤ T<br />
(1.89)<br />
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