dh+1 - am IFM

KAPITEL 1. KONTINUUMSMECHANIK UND DISKRETISIERUNGSMETHODEN
(1.80) und (1.83) bilden somit die starke Form des Gleichgewichts des 7-Parameter-
Modells mit der erweiterten Kinematik (1.79). Gleichung (1.83) kann dabei als zusätzliche
Gleichgewichtsbedingung zur Bestimmung des Verzerrungsparameters β verstanden
werden. Wichtig ist die Feststellung, dass diese starke Form unabhängig von einer
räumlichen Diskretisierung in der Schalenebene ist.
Das in der Schalenebene kontinuierliche Variationsproblem für das 7-Parameter-Modell
lässt sich somit kompakt darstellen als:
a(u,β;w) + ρ 0 (ü,w) B0 = F u (w) ∀w ∈ W (1.84)
b(u,γ) + c(β,γ) = 0
∀γ ∈ Γ 0 ≤ t ≤ T
Mit
a(u,β;w) =
b(u;γ) =
c(β,γ) =
∫
(E(u) + Ẽ(β)) : C : (F T (u)Gradw) sym dV
B
∫
0
∫
E(u) : C : Ẽ(γ)dV = E(u) : C : (ζ · γ(ξ,η)G 3 ⊗ G 3 )dV (1.85)
B 0 B
∫
∫
0
Ẽ(β) : C : Ẽ(γ)dV = ζ 2 β(ξ,η) · C 3333 · γ(ξ,η)dV.
B 0
B 0
In Gleichung (1.84) ist W der Raum, der in Dickenrichtung linearen Testfunktionen
und Γ der Raum aller in Schalenebene kontinuierlichen erweiterten Verzerrungen. Auch
hier wird nun wieder die konstante Rayleigh-Dämpfung eingeführt. Hierfür sind die
Linearisierungen von a(·; ·, ·) und b(·, ·) im unverformten Ausgangszustand notwendig.
Hierfür wird a(·; ·, ·) zunächst zerlegt in:
a(u,β;w) = a(u;w) + b T (u;w,β) (1.86)
Hierin ist a(u;w) die bereits in Gleichung (1.45) eingeführte Semilinearform ohne erweiterte
Verzerrungen und b T (u;w,β) ist die Richtungsableitung von b(·; ·) in Richtung
der Testfunktion w:
b T (0;w,β) = Db(0;β) · w (1.87)
Für die Linearisierung der modifizierten Form a(·; ·, ·) im Ursprung ergibt sich damit:
a T (0, 0;u,w) = a T (0;u,w) + b T (0;w,β) (1.88)
Hieraus folgt nun das gemischte Variationsproblem mit Rayleigh-Dämpfung:
ρ 0 (ü,w) + c m ρ 0 ( ˙u,w) B0 + c k (a T (0; ˙u,w) + b T (0;w, ˙β))
+ a(u,β;w) = F u (w) ∀w ∈ W
b(u,γ) + c(β,γ) = 0 ∀γ ∈ Γ 0 ≤ t ≤ T
(1.89)
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