dh+1 - am IFM

1.3. RÄUMLICHE DISKRETISIERUNG MIT FINITEN ELEMENTEN
und Koschnick [62]. Das sich ergebende Schalenmodell wird dort als 7-Parameter-
Modell bezeichnet, da zu den sechs verschiebungskompatiblen Verzerrungskoordinaten
E ij noch eine zusätzliche transversale Verzerrungskomponente eingeführt wird:
E = 1 2 (g ij − G ij )G i ⊗ G j
} {{ }
E(u)
+ ζβ(ξ,η)G 3 ⊗ G 3
} {{ }
Ẽ(β)
(1.79)
Dieser Ansatz für die erweiterten Verzerrungen erfüllt die Orthogonalitätsbedingung
(1.73) für konstante transversale Spannungen S ζζ
h .
Aus der Interpretation der EAS-Methode zur Vermeidung des Dickenlockings als Schalenmodell
folgt, dass sich hierfür auch eine starke Form des Gleichgewichts entwickeln
lassen muss, die unabhängig von einer Diskretisierung in der Schalenebene ist. Dies wird
im Folgenden in Anlehnung an Bischoff [16] kurz dargelegt. Dem Modell liegt die
Annahme linearer Verschiebungen in Schalendickenrichtung zugrunde. Aus der ersten
Zeile von Gleichung (1.75) folgt zusammen mit der Kinematik (1.79) die Gleichgewichtsbedingung
Div(F(u)S(u,Ẽ)) + ρ 0b − ρ 0 ü = 0 auf B 0 , (1.80)
welche der allgemeinen Gleichgewichtsbedingung (1.21) in der Referenzkonfiguration
unter Beachtung der Kinematik (1.79) entspricht.
Interessanter ist die Interpretation der zweiten Zeile von (1.76). Für die Variation der
erweiterten Verzerrungen gilt unter Berücksichtigung von (1.79):
δẼ = ζ · δβ(ξ,η)G3 ⊗ G 3 (1.81)
Hiermit lässt sich die zweite Zeile von (1.76) umwandeln in
∫
A
h(ξ,η)
2
∫ 1
−1
)
(S ζζ (u) + S ζζ (Ẽ) · ζdζ · δβ(ξ,η)dA = 0, (1.82)
woraus die starke Form
m ζζ (ξ,η) = h(ξ,η)
2
∫ 1
−1
)
(S ζζ (u) + S ζζ (Ẽ) · ζdζ = 0 (1.83)
folgt. h(ξ,η) bezeichnet hier die Schalendicke in Abhängigkeit von den Schalenmittelkoordinaten
ξ und η.
Bischoff [16] und Koschnick [62] bezeichnen die Größe m ζζ (ξ,η) als Quermoment,
da die Berechnungsvorschrift (1.83) für m ζζ (ξ,η) im Wesentlichen denen der bekannten
Biegemomente m ξξ und m ηη entspricht. Im Gegensatz zu m ξξ und m ηη repräsentiert
die Größe m ζζ (ξ,η) jedoch keine physikalisch motivierte Schnittgröße. Die Gleichungen
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