dh+1 - am IFM

1.3. RÄUMLICHE DISKRETISIERUNG MIT FINITEN ELEMENTEN
1.3.2 Modifikationen zur Beseitigung von Versteifungseffekten
Verschiebungsformulierte finite Elemente mit niedriger Ansatzordnung weisen in der
Regel ein zu steifes Verformungsverhalten (Locking) auf. Ein Versteifungsphänomen
ist generell durch die Abhängigkeit der Lösung von einem kritischen Parameter gekennzeichnet,
vgl. Koschnick [62]. Dabei wird je nach Art des kritischen Parameters
zwischen geometrischen und materiellen Versteifungseffekten unterschieden.
Zur Beseitigung bzw. Verminderung der Versteifungen sind verschiedene Modifikationen
der Elementformulierungen notwendig. Als variationelle Grundlage dieser Modifikationen
dient in der Regel das Hu-Washizu-Prinzip, welches im Folgenden kurz erläutert
werden soll.
Das Hu-Washizu-Prinzip
Das Hu-Washizu-Prinzip beruht auf einem Dreifeld-Funktional in dem die Verschiebungen
u, die Verzerrungen E und die Spannungen S als unabhängige Felder auftreten.
Die Anwendung des Hu-Washizu-Prinzips in der Dynamik findet sich u.a. in den Arbeiten
von Kuhl [64], Kuhl & Ramm [65] und Miehe & Schröder [72], jeweils
mit dem Ziel, finite Elemente mit erweiterten Verzerrungen mit energieerhaltenden
Zeitintegrationsalgorithmen einzusetzen.
Für einen beliebigen aber festen Zeitpunkt t lautet das Hu-Washizu-Prinzip:
Π HW (u,E,S) =
∫
W(E) + S : (E(u) − E)dV − (1.67)
B
∫
0
∫
u · (b − ü)ρ 0 dV − u · tdA → stat. 0 ≤ t ≤ T
B 0 ∂B N
Hierin bezeichnet E(u) den mit dem Verschiebungsfeld u kompatiblen Green-
Lagrange-Verzerrungstensor gemäß Gleichung (1.6). Die Trägheitskräfte werden wie
eine eingeprägte Volumenkraft behandelt und mit dem Term ρ 0 uü berücksichtigt.
Die zugehörige erste Variation lautet:
δΠ HW (u,E,S) =
∫ ( ) ∂W(E)
∂E − S : δEdV + (1.68)
B
∫
0
∫
S : δE(u) − ρ 0 (b − ü) · δudV − δu · tdA +
B 0 ∂B
∫
N
δS : (E(u) − E)dV = 0 0 ≤ t ≤ T
B 0
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