dh+1 - am IFM
dh+1 - am IFM
dh+1 - am IFM
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
1.3. RÄUMLICHE DISKRETISIERUNG MIT FINITEN ELEMENTEN<br />
1.3.2 Modifikationen zur Beseitigung von Versteifungseffekten<br />
Verschiebungsformulierte finite Elemente mit niedriger Ansatzordnung weisen in der<br />
Regel ein zu steifes Verformungsverhalten (Locking) auf. Ein Versteifungsphänomen<br />
ist generell durch die Abhängigkeit der Lösung von einem kritischen Par<strong>am</strong>eter gekennzeichnet,<br />
vgl. Koschnick [62]. Dabei wird je nach Art des kritischen Par<strong>am</strong>eters<br />
zwischen geometrischen und materiellen Versteifungseffekten unterschieden.<br />
Zur Beseitigung bzw. Verminderung der Versteifungen sind verschiedene Modifikationen<br />
der Elementformulierungen notwendig. Als variationelle Grundlage dieser Modifikationen<br />
dient in der Regel das Hu-Washizu-Prinzip, welches im Folgenden kurz erläutert<br />
werden soll.<br />
Das Hu-Washizu-Prinzip<br />
Das Hu-Washizu-Prinzip beruht auf einem Dreifeld-Funktional in dem die Verschiebungen<br />
u, die Verzerrungen E und die Spannungen S als unabhängige Felder auftreten.<br />
Die Anwendung des Hu-Washizu-Prinzips in der Dyn<strong>am</strong>ik findet sich u.a. in den Arbeiten<br />
von Kuhl [64], Kuhl & R<strong>am</strong>m [65] und Miehe & Schröder [72], jeweils<br />
mit dem Ziel, finite Elemente mit erweiterten Verzerrungen mit energieerhaltenden<br />
Zeitintegrationsalgorithmen einzusetzen.<br />
Für einen beliebigen aber festen Zeitpunkt t lautet das Hu-Washizu-Prinzip:<br />
Π HW (u,E,S) =<br />
∫<br />
W(E) + S : (E(u) − E)dV − (1.67)<br />
B<br />
∫<br />
0<br />
∫<br />
u · (b − ü)ρ 0 dV − u · tdA → stat. 0 ≤ t ≤ T<br />
B 0 ∂B N<br />
Hierin bezeichnet E(u) den mit dem Verschiebungsfeld u kompatiblen Green-<br />
Lagrange-Verzerrungstensor gemäß Gleichung (1.6). Die Trägheitskräfte werden wie<br />
eine eingeprägte Volumenkraft behandelt und mit dem Term ρ 0 uü berücksichtigt.<br />
Die zugehörige erste Variation lautet:<br />
δΠ HW (u,E,S) =<br />
∫ ( ) ∂W(E)<br />
∂E − S : δEdV + (1.68)<br />
B<br />
∫<br />
0<br />
∫<br />
S : δE(u) − ρ 0 (b − ü) · δudV − δu · tdA +<br />
B 0 ∂B<br />
∫<br />
N<br />
δS : (E(u) − E)dV = 0 0 ≤ t ≤ T<br />
B 0<br />
19