dh+1 - am IFM

1.3. RÄUMLICHE DISKRETISIERUNG MIT FINITEN ELEMENTEN
X o
e 3
X u
e 2
e 1
Bild 1.2: Geometrie der Volumenschale
Schalendirektors D(ξ,η) in der Referenzkonfiguration angeben:
X(ξ,η,ζ) = 1 2 (X o(ξ,η) + X u (ξ,η)) + 1
} {{ } 2 ζ(X o(ξ,η) − X u (ξ,η)) (1.58)
} {{ }
X M (ξ,η)
1
2 ζD(ξ,η)
Analog gilt für die Momentankonfiguration mit dem Schalendirekor d(ξ,η)
x(ξ,η,ζ) = 1 2 (x o(ξ,η) + x u (ξ,η)) + 1
} {{ } 2 ζ(x o(ξ,η) − x u (ξ,η)).
(1.59)
} {{ }
x M (ξ,η)
1
2 ζd(ξ,η)
Die Verschiebungen ergeben sich somit aus der linearen Interpolation der Verschiebungen
der Schalenober- und -unterseite:
u(ξ,η,ζ) = 1 2 (1 + ζ)u o(ξ,η) + 1 2 (1 − ζ)u u(ξ,η) (1.60)
Die Schalendirektoren D(ξ,η) und d(ξ,η) stehen in jedem Punkt der Schalenebene
senkrecht auf der unverformten bzw. verformten Schalenfläche. Aus den Gleichungen
(1.58) und (1.59) folgt weiterhin, dass die Schalendirektoren jeweils kolinear zu den
kovarianten Basisvektoren G 3 = ∂X/∂ζ bzw. g 3 = ∂x/∂ζ sind.
Es sei angemerkt, dass bisher nur Annahmen bezüglich des Verschiebungsverlaufs
in Schalendickenrichtung gemacht wurden, d.h. es wurden Modellannahmen für das
gewählte Schalenmodell gemacht. Diese Annahmen sind zunächst einmal unabhängig
von einer räumlichen Diskretisierung in der Schalenebene.
Die Diskretisierung in der Schalenebene erfolgt nun mit dem isoparametrischen Konzept
unter Verwendung der bilinearen Lagrangepolynome:
N i (ξ,η) = 1 4 (1 + ξ iξ)(1 + η i η) i = 1,..., 4 (1.61)
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