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1.3. RÄUMLICHE DISKRETISIERUNG MIT FINITEN ELEMENTEN<br />
<br />
<br />
X o<br />
e 3<br />
X u<br />
<br />
e 2<br />
e 1<br />
Bild 1.2: Geometrie der Volumenschale<br />
Schalendirektors D(ξ,η) in der Referenzkonfiguration angeben:<br />
X(ξ,η,ζ) = 1 2 (X o(ξ,η) + X u (ξ,η)) + 1<br />
} {{ } 2 ζ(X o(ξ,η) − X u (ξ,η)) (1.58)<br />
} {{ }<br />
X M (ξ,η)<br />
1<br />
2 ζD(ξ,η)<br />
Analog gilt für die Momentankonfiguration mit dem Schalendirekor d(ξ,η)<br />
x(ξ,η,ζ) = 1 2 (x o(ξ,η) + x u (ξ,η)) + 1<br />
} {{ } 2 ζ(x o(ξ,η) − x u (ξ,η)).<br />
(1.59)<br />
} {{ }<br />
x M (ξ,η)<br />
1<br />
2 ζd(ξ,η)<br />
Die Verschiebungen ergeben sich somit aus der linearen Interpolation der Verschiebungen<br />
der Schalenober- und -unterseite:<br />
u(ξ,η,ζ) = 1 2 (1 + ζ)u o(ξ,η) + 1 2 (1 − ζ)u u(ξ,η) (1.60)<br />
Die Schalendirektoren D(ξ,η) und d(ξ,η) stehen in jedem Punkt der Schalenebene<br />
senkrecht auf der unverformten bzw. verformten Schalenfläche. Aus den Gleichungen<br />
(1.58) und (1.59) folgt weiterhin, dass die Schalendirektoren jeweils kolinear zu den<br />
kovarianten Basisvektoren G 3 = ∂X/∂ζ bzw. g 3 = ∂x/∂ζ sind.<br />
Es sei angemerkt, dass bisher nur Annahmen bezüglich des Verschiebungsverlaufs<br />
in Schalendickenrichtung gemacht wurden, d.h. es wurden Modellannahmen für das<br />
gewählte Schalenmodell gemacht. Diese Annahmen sind zunächst einmal unabhängig<br />
von einer räumlichen Diskretisierung in der Schalenebene.<br />
Die Diskretisierung in der Schalenebene erfolgt nun mit dem isopar<strong>am</strong>etrischen Konzept<br />
unter Verwendung der bilinearen Lagrangepolynome:<br />
N i (ξ,η) = 1 4 (1 + ξ iξ)(1 + η i η) i = 1,..., 4 (1.61)<br />
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