dh+1 - am IFM
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1.3. RÄUMLICHE DISKRETISIERUNG MIT FINITEN ELEMENTEN<br />
1.3 Räumliche Diskretisierung mit finiten Elementen<br />
Die im vorangegangen Abschnitt dargestellte räumliche Variationsformulierung bildet<br />
die Grundlage der nachfolgend beschriebenen Diskretisierungsmethoden. Hier wird die<br />
sogenannte Semidiskretisierung behandelt, bei der zunächst die Diskretisierung der<br />
Raumdimension mit finiten Elementen erfolgt und anschließend die zeitliche Diskretisierung.<br />
Diese Methode ist auch unter dem N<strong>am</strong>en vertikale Linienmethode bzw.<br />
method of lines“ bekannt.<br />
”<br />
Zunächst wird das Gebiet B 0 in n el einfache nicht überlappende Teilgebiete, den finiten<br />
Elementen unterteilt:<br />
B 0 ≈ B 0,h =<br />
⋃n el<br />
j=1<br />
B j 0,h<br />
mit B j 0,h ∩ Bi 0,h = ∅ für i ≠ j (1.51)<br />
Im allgemeinen Fall, z.b. bei krummlinigen Rändern, wird ein Fehler bei der Geometrieapproximation<br />
eingeführt. Dieser Fehler wird im Rahmen dieser Arbeit vernachlässigt,<br />
d.h. es wird angenommen, dass B 0 = B 0,h ist.<br />
Bei der Berechnung mittels der Methode der finiten Elemente werden nun diskrete<br />
Ansatzfunktionen für die zu approximierenden Feldgrößen und die Testfunktionen<br />
eingeführt, d.h. es erfolgt eine Einschränkung auf endlich dimensionale Ansatz- und<br />
Testräume u h ,w h ∈ W h ⊂ W.<br />
In der diskreten Form der Variationsformulierung wird für jeden Zeitpunkt t eine Funktion<br />
u h ∈ W h gesucht, für die gilt:<br />
ρ 0 (ü h ,w h ) B0 + c m ρ 0 ( ˙u h ,w h ) B0 + c k a T (0; ˙u h ,w h ) + a(u h ,w h ) = F u (w h ) (1.52)<br />
∀w h ∈ W h<br />
0 ≤ t ≤ T<br />
Die Diskretisierung erfolgt hier mit Hilfe des isopar<strong>am</strong>etrischen Konzepts, d.h. für<br />
die Interpolation der Orte im Inneren eines finiten Elementes werden dieselben Ansatzfunktionen<br />
wie für die Interpolation der Verschiebungen innerhalb des Elementes<br />
verwendet:<br />
X e h =<br />
I e<br />
∑<br />
i=1<br />
N i (ξ,η,ζ)X i und u e h =<br />
I e<br />
∑<br />
i=1<br />
N i (ξ,η,ζ)d i (1.53)<br />
Hierin sind X i die Ortsvektoren der Elementknoten in der Referenzkonfiguration und<br />
d i die entsprechenden Verschiebungsvektoren. Derselbe Ansatz wird auch für die räumliche<br />
Wichtungsfunktion w h im Element eingeführt:<br />
w e h =<br />
I e<br />
∑<br />
i=1<br />
N i (ξ,η,ζ)w i (1.54)<br />
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