dh+1 - am IFM

1.3. RÄUMLICHE DISKRETISIERUNG MIT FINITEN ELEMENTEN
1.3 Räumliche Diskretisierung mit finiten Elementen
Die im vorangegangen Abschnitt dargestellte räumliche Variationsformulierung bildet
die Grundlage der nachfolgend beschriebenen Diskretisierungsmethoden. Hier wird die
sogenannte Semidiskretisierung behandelt, bei der zunächst die Diskretisierung der
Raumdimension mit finiten Elementen erfolgt und anschließend die zeitliche Diskretisierung.
Diese Methode ist auch unter dem Namen vertikale Linienmethode bzw.
method of lines“ bekannt.
”
Zunächst wird das Gebiet B 0 in n el einfache nicht überlappende Teilgebiete, den finiten
Elementen unterteilt:
B 0 ≈ B 0,h =
⋃n el
j=1
B j 0,h
mit B j 0,h ∩ Bi 0,h = ∅ für i ≠ j (1.51)
Im allgemeinen Fall, z.b. bei krummlinigen Rändern, wird ein Fehler bei der Geometrieapproximation
eingeführt. Dieser Fehler wird im Rahmen dieser Arbeit vernachlässigt,
d.h. es wird angenommen, dass B 0 = B 0,h ist.
Bei der Berechnung mittels der Methode der finiten Elemente werden nun diskrete
Ansatzfunktionen für die zu approximierenden Feldgrößen und die Testfunktionen
eingeführt, d.h. es erfolgt eine Einschränkung auf endlich dimensionale Ansatz- und
Testräume u h ,w h ∈ W h ⊂ W.
In der diskreten Form der Variationsformulierung wird für jeden Zeitpunkt t eine Funktion
u h ∈ W h gesucht, für die gilt:
ρ 0 (ü h ,w h ) B0 + c m ρ 0 ( ˙u h ,w h ) B0 + c k a T (0; ˙u h ,w h ) + a(u h ,w h ) = F u (w h ) (1.52)
∀w h ∈ W h
0 ≤ t ≤ T
Die Diskretisierung erfolgt hier mit Hilfe des isoparametrischen Konzepts, d.h. für
die Interpolation der Orte im Inneren eines finiten Elementes werden dieselben Ansatzfunktionen
wie für die Interpolation der Verschiebungen innerhalb des Elementes
verwendet:
X e h =
I e
∑
i=1
N i (ξ,η,ζ)X i und u e h =
I e
∑
i=1
N i (ξ,η,ζ)d i (1.53)
Hierin sind X i die Ortsvektoren der Elementknoten in der Referenzkonfiguration und
d i die entsprechenden Verschiebungsvektoren. Derselbe Ansatz wird auch für die räumliche
Wichtungsfunktion w h im Element eingeführt:
w e h =
I e
∑
i=1
N i (ξ,η,ζ)w i (1.54)
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