dh+1 - am IFM

KAPITEL 1. KONTINUUMSMECHANIK UND DISKRETISIERUNGSMETHODEN
& Strouboulis [4], Braess [17], Grossmann & Roos [41] oder Szabo & Babuska
[113]. In der kompakten Schreibweise lässt sich Gleichung (1.44) darstellen als
ρ 0 (ü,w) B0 + a(u;w) = F u (w) ∀w ∈ W 0 ≤ t ≤ T, (1.45)
mit dem L 2 -Produkt (·, ·) B0 : W × W → R
∫
(ü,w) B0 = ü · w dV, (1.46)
B 0
der semilinearen Form a(·; ·) : W × W → R
∫
∫
a(u;w) = P : Gradw dV =
B 0
B 0
S : δE(w)dV (1.47)
und dem Belastungsfunktional F u (·) : W → R
∫ ∫
F u (w) = ρ 0 b · w dV + t · w dA. (1.48)
B 0 ∂B N
Die Notation ist hier so gewählt, dass die semilineare Form a(·; ·) linear in den Größen
hinter dem Semikolon ist.
Die Gleichungen (1.43) – (1.45) stellen die räumliche Variationsformulierung der 1.
Cauchy Bewegungsgleichung für den dämpfungsfreien Fall dar. Die Dämpfungseffekte
realer Strukturen sind vielfältig und oft nur schwer quantifizierbar. Aus diesem
Grund werden die Dämpfungseigenschaften in der Regel zusammengefasst und durch
die Annahme einer geschwindigkeitsproportionalen (viskosen) Dämpfung beschrieben.
Im Rahmen dieser Arbeit wird die Dämpfung mit Hilfe der sogenannten Rayleighdämpfung
erfasst, die sich aus einem massen- und steifigkeitsproportionalen Anteil zusammensetzt.
Zusätzlich soll hier angenommen werden, dass die Dämpfungseigenschaften
konstant, d.h. unabhängig von den Verschiebungen sind. Dieser Ansatz findet sich beispielsweise
auch bei Wriggers [116]
Dies führt auf die folgende Variationsformulierung für die Bewegungsgleichung mit
konstanter Rayleighdämpfung:
ρ 0 (ü,w) B0 + c m ρ 0 ( ˙u,w) B0 + c k a T (0; ˙u,w) + a(u;w) = F u (w) (1.49)
∀w ∈ W
0 ≤ t ≤ T
mit den Rayleighkoeffizienten c m und c k und der Richtungsableitung im Ursprung
a T (0; ˙u,w) = d dǫ a(0 + ǫ ˙u;w)| ǫ=0, (1.50)
welche die tangentielle Steifigkeit im unverformten Ausgangszustand beschreibt. Zur
Wahl der beiden Dämpfungsparameter c m und c k wird z. B. auf Clough & Penzien
[23] oder Magnus & Popp [68] verwiesen.
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