dh+1 - am IFM
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1.2. RÄUMLICH SCHWACHE FORM DES GLEICHGEWICHTS<br />
Da die Dirichlet-Ränder den Raum der zulässigen Testfunktionen beschränken, werden<br />
sie auch als wesentliche Randbedingungen und die Neumann-Randbedingungen als<br />
natürliche Randbedingungen bezeichnet.<br />
Für homogene Dirichlet-Randbedingungen, d.h. für den Fall u D = 0 gilt W = V .<br />
Ansatz- und Testraum stimmen also überein. Probleme mit inhomogenen Dirichlet-<br />
Randbedingungen lassen sich über eine Zerlegung der Lösung in einen homogenen<br />
Anteil u hom ∈ W und einen imhomogenen Anteil u in auf äquivalente homogenene Probleme<br />
zurückführen. Für den Rest dieser Arbeit werden deshalb ohne Einschränkung<br />
der Allgemeinheit ausschließlich Probleme mit homogenen Dirichlet-Randbedingungen<br />
betrachtet.<br />
Die Multiplikation der Bewegungsgleichung (1.21) mit einer beliebigen Testfunktion<br />
w(X) ∈ W und Integration über das ges<strong>am</strong>te Gebiet führt auf die Integralform:<br />
∫<br />
B 0<br />
(DivP + ρ 0 (b − ü)) · w dV = 0 0 ≤ t ≤ T (1.42)<br />
Die partielle Integration des ersten Terms liefert dann<br />
∫<br />
B 0<br />
P : Gradw dV =<br />
∫<br />
B 0<br />
ρ 0 (b − ü) · w dV +<br />
Mit P = FS läßt sich diese Gleichung umformen zu<br />
∫<br />
∫ ∫ ∫<br />
S : δE(w)dV + ρ 0 ü·w dV = ρ 0 b·w dV +<br />
B 0 B 0 B 0<br />
∫<br />
∂B N<br />
t · w dA 0 ≤ t ≤ T. (1.43)<br />
∂B N<br />
t·w dA 0 ≤ t ≤ T. (1.44)<br />
Hierin ist δE(w) = F T (u)Gradw die Variation des Green-Lagrange Verzerrungstensors<br />
und kann als Gateaux-Ableitung von E an der Stelle u aufgefaßt werden [40, 46].<br />
δE(w) ist somit linear in w.<br />
Das Galerkinverfahren ist eng mit bekannten Variationsprinzipen der Mechanik verknüpft.<br />
Dies wird deutlich, wenn man der Testfunktion w(X) eine physikalische Größe<br />
zuordnet. Wird die Testfunktion w(X) als virtuelle, also gedachte, Verschiebung interpretiert,<br />
so geht Gleichung (1.44) in das bekannte Prinzip der virtuellen Verschiebungen<br />
bzw. das Prinzip der virtuellen Arbeit über. Alternativ kann in der Dyn<strong>am</strong>ik die<br />
Testfunktion w(X) auch als virtuelle Geschwindigkeit aufgefasst werden. Gleichung<br />
(1.44) entspricht dann dem Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten. Die Unterscheidung<br />
zwischen diesen beiden Fällen ist von wesentlicher Bedeutung bei der Herleitung<br />
von Reziprozitätstheoremen in der Dyn<strong>am</strong>ik.<br />
Für die Behandlung des räumlichen Diskretisierungsfehlers und die Herleitung geeigneter<br />
Fehlerschätzer ist eine abstraktere kompakte Darstellung der räumlich schwachen<br />
Formulierung (1.43) bzw. (1.44) hilfreich, wie sie insbesondere in den mathematischen<br />
Abhandlungen der Methode der finiten Elemente verwendet wird, z. B. in Babuska<br />
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