dh+1 - am IFM

1.2. RÄUMLICH SCHWACHE FORM DES GLEICHGEWICHTS
Da die Dirichlet-Ränder den Raum der zulässigen Testfunktionen beschränken, werden
sie auch als wesentliche Randbedingungen und die Neumann-Randbedingungen als
natürliche Randbedingungen bezeichnet.
Für homogene Dirichlet-Randbedingungen, d.h. für den Fall u D = 0 gilt W = V .
Ansatz- und Testraum stimmen also überein. Probleme mit inhomogenen Dirichlet-
Randbedingungen lassen sich über eine Zerlegung der Lösung in einen homogenen
Anteil u hom ∈ W und einen imhomogenen Anteil u in auf äquivalente homogenene Probleme
zurückführen. Für den Rest dieser Arbeit werden deshalb ohne Einschränkung
der Allgemeinheit ausschließlich Probleme mit homogenen Dirichlet-Randbedingungen
betrachtet.
Die Multiplikation der Bewegungsgleichung (1.21) mit einer beliebigen Testfunktion
w(X) ∈ W und Integration über das gesamte Gebiet führt auf die Integralform:
∫
B 0
(DivP + ρ 0 (b − ü)) · w dV = 0 0 ≤ t ≤ T (1.42)
Die partielle Integration des ersten Terms liefert dann
∫
B 0
P : Gradw dV =
∫
B 0
ρ 0 (b − ü) · w dV +
Mit P = FS läßt sich diese Gleichung umformen zu
∫
∫ ∫ ∫
S : δE(w)dV + ρ 0 ü·w dV = ρ 0 b·w dV +
B 0 B 0 B 0
∫
∂B N
t · w dA 0 ≤ t ≤ T. (1.43)
∂B N
t·w dA 0 ≤ t ≤ T. (1.44)
Hierin ist δE(w) = F T (u)Gradw die Variation des Green-Lagrange Verzerrungstensors
und kann als Gateaux-Ableitung von E an der Stelle u aufgefaßt werden [40, 46].
δE(w) ist somit linear in w.
Das Galerkinverfahren ist eng mit bekannten Variationsprinzipen der Mechanik verknüpft.
Dies wird deutlich, wenn man der Testfunktion w(X) eine physikalische Größe
zuordnet. Wird die Testfunktion w(X) als virtuelle, also gedachte, Verschiebung interpretiert,
so geht Gleichung (1.44) in das bekannte Prinzip der virtuellen Verschiebungen
bzw. das Prinzip der virtuellen Arbeit über. Alternativ kann in der Dynamik die
Testfunktion w(X) auch als virtuelle Geschwindigkeit aufgefasst werden. Gleichung
(1.44) entspricht dann dem Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten. Die Unterscheidung
zwischen diesen beiden Fällen ist von wesentlicher Bedeutung bei der Herleitung
von Reziprozitätstheoremen in der Dynamik.
Für die Behandlung des räumlichen Diskretisierungsfehlers und die Herleitung geeigneter
Fehlerschätzer ist eine abstraktere kompakte Darstellung der räumlich schwachen
Formulierung (1.43) bzw. (1.44) hilfreich, wie sie insbesondere in den mathematischen
Abhandlungen der Methode der finiten Elemente verwendet wird, z. B. in Babuska
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