dh+1 - am IFM
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1.1. KONTINUUMSMECHANISCHE GRUNDLAGEN<br />
Die beiden L<strong>am</strong>é-Konstanten λ und µ sind über<br />
λ =<br />
Eν<br />
(1 + ν)(1 − 2ν)<br />
µ =<br />
E<br />
2(1 + ν)<br />
(1.33)<br />
mit dem Elastizitätsmodul E und der Querkontraktionszahl ν verknüpft. Der zweite<br />
Piola-Kirchhoff Spannungstensor berechnet sich dann mit:<br />
S = ∂W(E)<br />
∂E = C : E (1.34)<br />
1.1.4 Grundgleichungen der linearen Elastodyn<strong>am</strong>ik<br />
Ein Teil dieser Arbeit befasst sich mit adaptiven Methoden für materiell und geometrisch<br />
lineare Probleme der Dyn<strong>am</strong>ik. Deshalb werden nachfolgend kurz die Grundgleichungen<br />
der linearen Elastodyn<strong>am</strong>ik als Sonderfall bereitgestellt.<br />
Die Grundgleichungen der linearen Elastodyn<strong>am</strong>ik folgen direkt aus der Linearisierung<br />
der Kinematik in Form des Green-Lagrange-Verzerrungstensors E im Ursprung, d.h.<br />
an der Stelle ϕ(X,t) = X. Allgemeinen lautet die Linearisierung des Green-Lagrange-<br />
Verzerrungstensors an der Stelle ¯ϕ:<br />
L[E]ϕ= ¯ϕ = E(¯ϕ) + ∆E(¯ϕ) (1.35)<br />
mit der Richtungsableitung ∆E(¯ϕ):<br />
∆E(¯ϕ) =<br />
d [ 1<br />
dǫ 2 F T (¯ϕ + ǫu)F(¯ϕ + ǫu) − 1]<br />
ǫ=0<br />
(1.36)<br />
= 1 2 (F T (¯ϕ)Gradu + Grad T uF(¯ϕ))<br />
Die Auswertung von Gleichung (1.35) in der unverformten Ausgangskonfiguration<br />
ϕ = X liefert dann unter Berücksichtigung von (1.36) den klassischen linearen Verzerrungstensor:<br />
ε = L[E] ϕ=X = 1 2 (Gradu + GradT u) (1.37)<br />
Aus der Auswertung im unverformten Ausgangszustand folgt direkt die Übereinstimmung<br />
zwischen der materiellen und der räumlichen Form der Impulsbilanz. Folglich<br />
muss im geometrisch linearen Fall auch nicht mehr zwischen den Lagrangekoordinaten<br />
x und den materiellen Koordinaten X unterschieden werden. Es ergibt sich somit die<br />
Impulsbilanz in der Form:<br />
divσ + ρ 0 b − ρ 0 ü = 0 auf B 0 . (1.38)<br />
Weiterhin wird die Gültigkeit des Hookeschen Gesetzes in der Form<br />
σ = C : ε (1.39)<br />
vorausgesetzt.<br />
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