dh+1 - am IFM

1.1. KONTINUUMSMECHANISCHE GRUNDLAGEN
Die beiden Lamé-Konstanten λ und µ sind über
λ =
Eν
(1 + ν)(1 − 2ν)
µ =
E
2(1 + ν)
(1.33)
mit dem Elastizitätsmodul E und der Querkontraktionszahl ν verknüpft. Der zweite
Piola-Kirchhoff Spannungstensor berechnet sich dann mit:
S = ∂W(E)
∂E = C : E (1.34)
1.1.4 Grundgleichungen der linearen Elastodynamik
Ein Teil dieser Arbeit befasst sich mit adaptiven Methoden für materiell und geometrisch
lineare Probleme der Dynamik. Deshalb werden nachfolgend kurz die Grundgleichungen
der linearen Elastodynamik als Sonderfall bereitgestellt.
Die Grundgleichungen der linearen Elastodynamik folgen direkt aus der Linearisierung
der Kinematik in Form des Green-Lagrange-Verzerrungstensors E im Ursprung, d.h.
an der Stelle ϕ(X,t) = X. Allgemeinen lautet die Linearisierung des Green-Lagrange-
Verzerrungstensors an der Stelle ¯ϕ:
L[E]ϕ= ¯ϕ = E(¯ϕ) + ∆E(¯ϕ) (1.35)
mit der Richtungsableitung ∆E(¯ϕ):
∆E(¯ϕ) =
d [ 1
dǫ 2 F T (¯ϕ + ǫu)F(¯ϕ + ǫu) − 1]
ǫ=0
(1.36)
= 1 2 (F T (¯ϕ)Gradu + Grad T uF(¯ϕ))
Die Auswertung von Gleichung (1.35) in der unverformten Ausgangskonfiguration
ϕ = X liefert dann unter Berücksichtigung von (1.36) den klassischen linearen Verzerrungstensor:
ε = L[E] ϕ=X = 1 2 (Gradu + GradT u) (1.37)
Aus der Auswertung im unverformten Ausgangszustand folgt direkt die Übereinstimmung
zwischen der materiellen und der räumlichen Form der Impulsbilanz. Folglich
muss im geometrisch linearen Fall auch nicht mehr zwischen den Lagrangekoordinaten
x und den materiellen Koordinaten X unterschieden werden. Es ergibt sich somit die
Impulsbilanz in der Form:
divσ + ρ 0 b − ρ 0 ü = 0 auf B 0 . (1.38)
Weiterhin wird die Gültigkeit des Hookeschen Gesetzes in der Form
σ = C : ε (1.39)
vorausgesetzt.
11