dh+1 - am IFM

KAPITEL 1. KONTINUUMSMECHANIK UND DISKRETISIERUNGSMETHODEN
1.1.3 Spannungsmaße und Stoffgesetz
Im Abschnitt 1.1.2 wurde bereits der Cauchy Spannungstensor und der unsymmetrische
1. Piola-Kirchhoff Spannungstensor eingeführt. Das zum Green-Lagrange Verzerrungstensor
energetisch konjugierte Spannungsmaß ist der 2. Piola-Kirchhoff Spannungstensor,
der sich mit Hilfe der Transformation
S = F −1 P = detFF −1 σF −T (1.27)
aus dem 1. Piola-Kirchhoff Spannungstensor P beziehungsweise aus dem Cauchy Spannungstensor
σ bestimmen läßt. Im Gegensatz zu P ist S symmetrisch.
Das Stoffgesetz stellt den konstitutiven Zusammenhang zwischen den Verzerrungen und
den Spannungen her. Für ein Cauchy-elastisches Material ist der Spannungszustand
allein vom momentanen Deformationszustand abhängig, d.h.
S = f(E). (1.28)
Ist darüber hinaus auch die Wegunabhängigkeit der durch die Spannungen verrichteten
Arbeit gegeben, so lässt sich der Zusammenhang zwischen den Spannungen und den
Verzerrungen mit
S = ∂W
∂E
(1.29)
aus der Formänderungsenergiefunktion W(E) ableiten. Ein elastisches Material, für
das eine Formänderungsenergiefunktion angegeben werden kann, heißt hyperelastisches
bzw. Green-elastisches Material. Durch nochmaliges Ableiten von (1.29) erhält man den
vierstufigen Materialtensor
C = ∂2 W
∂E∂E . (1.30)
Im linear-elastischen Fall sind die Komponenten von C konstant. Im Fall der nichtlinearen
Elastizität bzw. der Elastoplastizität entspricht C einem tangentialen Stofftensor,
der innerhalb der nichtlinearen Lösungsprozedur für jeden Iterationsschritt neu aufgestellt
werden muss [28, 45].
Für das im Rahmen dieser Arbeit ausschließlich verwendete isotrope, linear-elastische
St.-Venant-Kirchhoff-Material ist
W(E) = 1 2 E : C : E (1.31)
mit dem vierstufigen Materialtensor
C = λ1 ⊗ 1 + 2µI. (1.32)
Hierin sind 1 und I die Identitätstensoren zweiter bzw. vierter Stufe.
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