dh+1 - am IFM
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KAPITEL 1. KONTINUUMSMECHANIK UND DISKRETISIERUNGSMETHODEN<br />
1.1.3 Spannungsmaße und Stoffgesetz<br />
Im Abschnitt 1.1.2 wurde bereits der Cauchy Spannungstensor und der unsymmetrische<br />
1. Piola-Kirchhoff Spannungstensor eingeführt. Das zum Green-Lagrange Verzerrungstensor<br />
energetisch konjugierte Spannungsmaß ist der 2. Piola-Kirchhoff Spannungstensor,<br />
der sich mit Hilfe der Transformation<br />
S = F −1 P = detFF −1 σF −T (1.27)<br />
aus dem 1. Piola-Kirchhoff Spannungstensor P beziehungsweise aus dem Cauchy Spannungstensor<br />
σ bestimmen läßt. Im Gegensatz zu P ist S symmetrisch.<br />
Das Stoffgesetz stellt den konstitutiven Zus<strong>am</strong>menhang zwischen den Verzerrungen und<br />
den Spannungen her. Für ein Cauchy-elastisches Material ist der Spannungszustand<br />
allein vom momentanen Deformationszustand abhängig, d.h.<br />
S = f(E). (1.28)<br />
Ist darüber hinaus auch die Wegunabhängigkeit der durch die Spannungen verrichteten<br />
Arbeit gegeben, so lässt sich der Zus<strong>am</strong>menhang zwischen den Spannungen und den<br />
Verzerrungen mit<br />
S = ∂W<br />
∂E<br />
(1.29)<br />
aus der Formänderungsenergiefunktion W(E) ableiten. Ein elastisches Material, für<br />
das eine Formänderungsenergiefunktion angegeben werden kann, heißt hyperelastisches<br />
bzw. Green-elastisches Material. Durch nochmaliges Ableiten von (1.29) erhält man den<br />
vierstufigen Materialtensor<br />
C = ∂2 W<br />
∂E∂E . (1.30)<br />
Im linear-elastischen Fall sind die Komponenten von C konstant. Im Fall der nichtlinearen<br />
Elastizität bzw. der Elastoplastizität entspricht C einem tangentialen Stofftensor,<br />
der innerhalb der nichtlinearen Lösungsprozedur für jeden Iterationsschritt neu aufgestellt<br />
werden muss [28, 45].<br />
Für das im Rahmen dieser Arbeit ausschließlich verwendete isotrope, linear-elastische<br />
St.-Venant-Kirchhoff-Material ist<br />
W(E) = 1 2 E : C : E (1.31)<br />
mit dem vierstufigen Materialtensor<br />
C = λ1 ⊗ 1 + 2µI. (1.32)<br />
Hierin sind 1 und I die Identitätstensoren zweiter bzw. vierter Stufe.<br />
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