dh+1 - am IFM

1.1. KONTINUUMSMECHANISCHE GRUNDLAGEN
Da die Dichte ρ eine Funktion der Zeit ist, wird Gleichung (1.18) zunächst in die
Ausgangskonfiguration transformiert. Nach der Ermittlung der Zeitableitung und der
Rücktransformation auf die Momentankonfiguration ergibt sich unter Verwendung des
Gaußschen Integralsatzes die Impulsbilanz in der Momentankonfiguration
∫
divσ + ρb − ρü dv = 0. (1.19)
B
Da (1.19) für jedes beliebige Volumen erfüllt sein muß, folgt hieraus die lokale Form
der Impulsbilanz
divσ + ρb − ρü = 0 auf B. (1.20)
Gleichung (1.20) wird auch als 1. Cauchysches Bewegungsgesetz bezeichnet und beschreibt
das Gleichgewicht in der Momentankonfiguration.
Die Impulsbilanz läßt sich analog dazu auch in der Referenzkonfiguration formulieren.
Dies führt auf die Gleichgewichtsbedingung
DivP + ρ 0 b − ρ 0 ü = 0 auf B 0 (1.21)
mit dem unsymmetrischen 1. Piola-Kirchhoff Spannungstensor
P = detFσF −T . (1.22)
Drallbilanz
Die Drallbilanz besagt, dass die Zeitableitung des auf den raumfesten Punkt X 0 bezogenen
Dralls
∫
L = (x − X 0 ) × ρẋ dv (1.23)
B
dem aus den eingeprägten Kräften resultierenden Moment
∫
∫
m = (x − X 0 ) × ρbdv + (x − X 0 ) × t da (1.24)
B
∂B
entspricht, d.h.
˙L = m. (1.25)
Aus der Drallbilanz folgt die Symmetrie des Cauchy Spannungstensors
σ = σ T (1.26)
sowie die Symmetrie des Tensorproduktes FP T = F T P.
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