dh+1 - am IFM

KAPITEL 1. KONTINUUMSMECHANIK UND DISKRETISIERUNGSMETHODEN
Zweckmäßig für die Umsetzung in einem Finite-Elemente-Programm ist die Darstellung
des Green-Lagrange Verzerrungstensors in der kontravarianten konvektiven Basis:
E = E ij G i ⊗ G j = 1 2 (g ij − G ij )G i ⊗ G j (1.12)
1.1.2 Bilanzgleichungen der Kontinuumsmechanik
Massenbilanz
Die Masse m eines Körpers ist das Volumenintegral über die Massendichte ρ. Massenerhalt
bedeutet nun, dass die Masse unabhängig von der Konfiguration und vom
Betrachter sein muss:
∫ ∫
m = ρdv = ρ 0 dV (1.13)
B 0
B
Zusammen mit der Transformationsvorschrift für Volumenelemente
dv = detF dV (1.14)
ergibt sich der Zusammenhang der Dichten in der Momentan- und in der Ausgangskonfiguration
ρ 0 = detF ρ. (1.15)
Impulsbilanz
Die Impulsbilanz besagt, dass die Summe aller am Kontinuum angreifenden Kräfte
gleich der zeitlichen Änderung des Impulses sein muss. Der Impuls ist dabei definiert
als
∫
i = ρẋ dv. (1.16)
B
Die eingeprägten Kräfte setzen sich zusammen aus den Oberflächenkräften und den
Volumenkräften
∫ ∫
f = ρbdv + tda. (1.17)
B
∂B
Hierbei bezeichnet b die eingeprägten Volumenkräfte und t den auf die Flächeneinheit
da in der Momentankonfiguration bezogenen Spannungsvektor, der über das Cauchy-
Theorem t = σn mit dem Cauchy-Spannungstensor σ und dem Normalenvektor n
verknüpft ist. Die Impulsbilanz lautet
∫ ∫
ρbdv + tda = d ∫
ρẋ dv. (1.18)
dt
B
∂B
B
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