dh+1 - am IFM

1.1. KONTINUUMSMECHANISCHE GRUNDLAGEN
Die Betrachtung der Längendifferenz dx · dx − dX · dX der Linienelemente dx und dX
führt auf den Green-Lagrange Verzerrungstensor
E = 1 2
(
F T F − 1 ) (1.6)
Differentialgeometrie
Bisher wurde kein spezielles Koordinatensystem verwendet. Für die Formulierung der
Finite-Elemente-Methode bietet sich jedoch die Darstellung der Zustandsgrößen in konvektiven
Koordinaten an, da die Verschiebungen auf Elementebene Funktionen konvektiver
Koordinaten sind. Neben den kartesischen Koordinaten, welche von den orthonormierten
Basisvektoren e i = e i aufgespannt werden, werden noch die krummlinigen,
konvektiven Koordinatenlinien ξ i eingeführt, welche fest mit dem Körper verbunden
sind. Dies führt auf eine Parameterdarstellung X = X(ξ i ) bzw. x = x(ξ i ).
Für die Differentiale der Ortsvektoren in der Referenz- bzw. Momentankonfiguration
gilt
dX = ∂X
∂ξ i dξi = G i dξ i (1.7)
dx =
∂x
∂ξ i dξi = g i dξ i
mit den kovarianten Basisvektoren G i und g i . Die kovarianten Basisvektoren stellen
somit die Tangentenvektoren an die Koordinatenlinien in der entsprechenden Konfiguration
dar. Da zwischen den ko- und kontravarianten konvektiven Basisvektoren die
Beziehung
G i · G j = δ j i (1.8)
gilt, lassen sich die kontravarianten Basisvektoren mit Hilfe der kontravarianten Metrikkoeffizienten
G ij = G i · G j (1.9)
und der kontravarianten Metrik
[G ij ] = [G ij ] −1 (1.10)
aus der Beziehung
G i = G ij G j (1.11)
berechnen. Basierend auf den konvektiven Basisvektoren ergeben sich die folgenden
Darstellungen für den Deformationsgradienten:
F = g i ⊗ G i , F T = G i ⊗ g i
F −1 = G i ⊗ g i , F −T = g i ⊗ G i
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