dh+1 - am IFM

A.3. LINEARISIERUNG VON FUNKTIONALEN
dieser Arbeit benötigt werden. Die nachfolgende Übersicht ist dabei im Wesentlichen
aus Oden & Prudhomme [79] entnommen.
Sei V ein Banach-Raum, a(·; ·) eine auf V definierte semilineare Form und Q(·) ein auf
V definiertes Funktional:
a : V × V → R
Q : V → R
Die Notation ist hier so gewählt, dass a(·; ·) linear in allen Argumenten nach dem Semikolon
ist, d.h. beispielsweise dass a(u;w) linear in w ist aber nichtlinear in u sein
kann. Nachfolgend wird angenommen, dass a(·; ·) und Q(·) ausreichend oft differenzierbar
sind. Das bedeutet, dass die Grenzwerte
a ′ (u;p,w) = lim
Θ→0
[a(u + Θp;w) − a(u;w)],
a ′′ (u;p,q,w) = lim
Θ→0
[a ′ (u + Θq;p,w) − a ′ (u;p,w)],
a ′′′ (u;p,q,r,w) = lim
Θ→0
[a ′′ (u + Θr;p,q,w) − a ′′ (u;,p,q,w)],...,
bzw.
Q ′ (u;p) = lim
Θ→0
[Q(u + Θp) − Q(u)],
Q ′′ (u;p,q) = lim
Θ→0
[Q ′ (u + Θq;p) − Q ′ (u;p)],
Q ′′′ (u;p,q,r) = lim
Θ→0
[Q ′′ (u + Θr;p,q) − Q ′′ (u;,p,q)],...,
existieren. Dann lassen sich a(·; ·) und Q(·) in Taylorreihen mit Restglied entwickeln.
Einige gebräuchliche Entwicklungen sind nachfolgend angegeben.
Taylorreihenentwicklungen von Q(·):
Q(u + v) − Q(u) =
∫ 1
Q ′ (u + sv;v)ds,
0
∫ 1
Q(u + v) − Q(u) = Q ′ (u,v) + Q ′′ (u + sv;v,v)(1 − s)ds,
0
∫ 1
Q(u + v) − Q(u) = 1 2 Q′ (u;v) + 1 2 Q′ (u;v) + Q ′′′ (u + sv;v,v,v)(s − 1)ds
0
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