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A.3. LINEARISIERUNG VON FUNKTIONALEN<br />
dieser Arbeit benötigt werden. Die nachfolgende Übersicht ist dabei im Wesentlichen<br />
aus Oden & Prudhomme [79] entnommen.<br />
Sei V ein Banach-Raum, a(·; ·) eine auf V definierte semilineare Form und Q(·) ein auf<br />
V definiertes Funktional:<br />
a : V × V → R<br />
Q : V → R<br />
Die Notation ist hier so gewählt, dass a(·; ·) linear in allen Argumenten nach dem Semikolon<br />
ist, d.h. beispielsweise dass a(u;w) linear in w ist aber nichtlinear in u sein<br />
kann. Nachfolgend wird angenommen, dass a(·; ·) und Q(·) ausreichend oft differenzierbar<br />
sind. Das bedeutet, dass die Grenzwerte<br />
a ′ (u;p,w) = lim<br />
Θ→0<br />
[a(u + Θp;w) − a(u;w)],<br />
a ′′ (u;p,q,w) = lim<br />
Θ→0<br />
[a ′ (u + Θq;p,w) − a ′ (u;p,w)],<br />
a ′′′ (u;p,q,r,w) = lim<br />
Θ→0<br />
[a ′′ (u + Θr;p,q,w) − a ′′ (u;,p,q,w)],...,<br />
bzw.<br />
Q ′ (u;p) = lim<br />
Θ→0<br />
[Q(u + Θp) − Q(u)],<br />
Q ′′ (u;p,q) = lim<br />
Θ→0<br />
[Q ′ (u + Θq;p) − Q ′ (u;p)],<br />
Q ′′′ (u;p,q,r) = lim<br />
Θ→0<br />
[Q ′′ (u + Θr;p,q) − Q ′′ (u;,p,q)],...,<br />
existieren. Dann lassen sich a(·; ·) und Q(·) in Taylorreihen mit Restglied entwickeln.<br />
Einige gebräuchliche Entwicklungen sind nachfolgend angegeben.<br />
Taylorreihenentwicklungen von Q(·):<br />
Q(u + v) − Q(u) =<br />
∫ 1<br />
Q ′ (u + sv;v)ds,<br />
0<br />
∫ 1<br />
Q(u + v) − Q(u) = Q ′ (u,v) + Q ′′ (u + sv;v,v)(1 − s)ds,<br />
0<br />
∫ 1<br />
Q(u + v) − Q(u) = 1 2 Q′ (u;v) + 1 2 Q′ (u;v) + Q ′′′ (u + sv;v,v,v)(s − 1)ds<br />
0<br />
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