dh+1 - am IFM
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KAPITEL 5. SCHÄTZUNG DES ZEITINTEGRATIONSFEHLERS FÜR LINEARE PROBLEME<br />
Es muss an dieser Stelle allerdings erwähnt werden, dass die hier beschriebene Auswahl<br />
der Eigenformen von der gewählten Normierung der Eigenformen abhängig ist.<br />
Da diese beliebig ist, ist die Auswahl nicht objektiv. Bei der hier gewählten Normierung<br />
(m diag = I) und wenn c <strong>am</strong>p nicht zu groß gewählt wird führt das beschriebene<br />
Vorgehen jedoch zu sehr guten Ergebnissen.<br />
Der große Vorteil der Beschreibung in Modalkoordinaten liegt in der Tatsache begründet,<br />
dass die dualen Lösungen für die einzelnen Moden exakt bestimmt werden<br />
können und folglich keine numerische Zeitintegration des dualen Problems notwendig<br />
ist. Infolge dessen ergibt sich auch kein zusätzlicher Fehler durch die numerische Bestimmung<br />
der dualen Lösung und der Aufwand für die direkte Zeitintegration entfällt.<br />
Der Näherungscharakter des Fehlerschätzers ergibt sich hier aus der reduzierten Anzahl<br />
n red an Eigenformen bei der Fehlerberechnung und der numerischen Auswertung<br />
des Integrals:<br />
⎛<br />
⎞<br />
∑n red<br />
∫ t n<br />
ẽ t,i (t n ) = ⎝ q d,j · R mod,j dt⎠ (5.45)<br />
j=1<br />
0<br />
Ein weiterer erheblicher Vorteil liegt darin, dass nicht mehr die ges<strong>am</strong>te primale Lösung<br />
abgespeichert werden muss, sondern lediglich die modalen Antworten der n red berücksichtigten<br />
Eigenformen.<br />
Der größte Aufwand für das hier beschriebene Vorgehen liegt dann in der Bestimmung<br />
der modalen Anfangsbedingungen für das duale Problem, da hierfür das Eigenwertproblem<br />
(5.33) gelöst werden muss, was im Gegensatz zur Lösung des Gleichungssystems<br />
(5.28) einen nicht unerheblichen Mehraufwand bedeutet.<br />
5.4.3 Numerisches Beispiel<br />
Die beiden Fehlerschätzer zur Schätzung des globalen Zeitintegrationsfehlers in einer<br />
Punktverschiebung werden nun anhand eines numerischen Beispiels getestet. Hierfür<br />
wird die bereits in Kapitel 3 behandelte Halbkugel mit Loch gemäß Bild 3.3 betrachtet.<br />
Als Belastung wird der Lastfall b) aus Bild 3.4 verwendet. Die Zielgröße ist die<br />
horizontale Verschiebung u y,II des Punktes II, siehe Bild 3.3. Es wird ein uniformes<br />
Raumnetz mit n dof = 6336 Freiheitsgraden verwendet. Die Berechnungen erfolgen mit<br />
den beiden konstanten Zeitschrittweiten ∆t 1 = 0, 005 und ∆t 2 = 0, 0025. Die Referenzlösung<br />
wird mit einer Zeitschrittweite von ∆t ref = 0, 00001 ermittelt, die ges<strong>am</strong>te<br />
Berechnungsdauer beträgt T = 2.<br />
Aufgrund der gegebenen niederfrequenten Belastung erfolgt für die Auswahl der Eigenformen<br />
bei der Verwendung des Fehlerschätzers (5.45) zunächst eine Beschränkung<br />
auf die ersten 20 Eigenformen. Für die weitere Reduktion der Anzahl der Eigenformen<br />
wird das im vorangegangen Abschnitt beschriebene Verfahren mit c <strong>am</strong>p = 0, 20 verwendet.<br />
Dies führt dazu, dass für die Fehlerschätzung nur noch n red = 11 Eigenformen<br />
berücksichtigt werden. Die mit Hilfe der Anfangsbedingungen des dualen Problems ermittelten<br />
Einflussfaktoren für die ersten 20 Eigenformen sind in Bild 5.1 dargestellt.<br />
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