dh+1 - am IFM

KAPITEL 5. SCHÄTZUNG DES ZEITINTEGRATIONSFEHLERS FÜR LINEARE PROBLEME
Es muss an dieser Stelle allerdings erwähnt werden, dass die hier beschriebene Auswahl
der Eigenformen von der gewählten Normierung der Eigenformen abhängig ist.
Da diese beliebig ist, ist die Auswahl nicht objektiv. Bei der hier gewählten Normierung
(m diag = I) und wenn c amp nicht zu groß gewählt wird führt das beschriebene
Vorgehen jedoch zu sehr guten Ergebnissen.
Der große Vorteil der Beschreibung in Modalkoordinaten liegt in der Tatsache begründet,
dass die dualen Lösungen für die einzelnen Moden exakt bestimmt werden
können und folglich keine numerische Zeitintegration des dualen Problems notwendig
ist. Infolge dessen ergibt sich auch kein zusätzlicher Fehler durch die numerische Bestimmung
der dualen Lösung und der Aufwand für die direkte Zeitintegration entfällt.
Der Näherungscharakter des Fehlerschätzers ergibt sich hier aus der reduzierten Anzahl
n red an Eigenformen bei der Fehlerberechnung und der numerischen Auswertung
des Integrals:
⎛
⎞
∑n red
∫ t n
ẽ t,i (t n ) = ⎝ q d,j · R mod,j dt⎠ (5.45)
j=1
0
Ein weiterer erheblicher Vorteil liegt darin, dass nicht mehr die gesamte primale Lösung
abgespeichert werden muss, sondern lediglich die modalen Antworten der n red berücksichtigten
Eigenformen.
Der größte Aufwand für das hier beschriebene Vorgehen liegt dann in der Bestimmung
der modalen Anfangsbedingungen für das duale Problem, da hierfür das Eigenwertproblem
(5.33) gelöst werden muss, was im Gegensatz zur Lösung des Gleichungssystems
(5.28) einen nicht unerheblichen Mehraufwand bedeutet.
5.4.3 Numerisches Beispiel
Die beiden Fehlerschätzer zur Schätzung des globalen Zeitintegrationsfehlers in einer
Punktverschiebung werden nun anhand eines numerischen Beispiels getestet. Hierfür
wird die bereits in Kapitel 3 behandelte Halbkugel mit Loch gemäß Bild 3.3 betrachtet.
Als Belastung wird der Lastfall b) aus Bild 3.4 verwendet. Die Zielgröße ist die
horizontale Verschiebung u y,II des Punktes II, siehe Bild 3.3. Es wird ein uniformes
Raumnetz mit n dof = 6336 Freiheitsgraden verwendet. Die Berechnungen erfolgen mit
den beiden konstanten Zeitschrittweiten ∆t 1 = 0, 005 und ∆t 2 = 0, 0025. Die Referenzlösung
wird mit einer Zeitschrittweite von ∆t ref = 0, 00001 ermittelt, die gesamte
Berechnungsdauer beträgt T = 2.
Aufgrund der gegebenen niederfrequenten Belastung erfolgt für die Auswahl der Eigenformen
bei der Verwendung des Fehlerschätzers (5.45) zunächst eine Beschränkung
auf die ersten 20 Eigenformen. Für die weitere Reduktion der Anzahl der Eigenformen
wird das im vorangegangen Abschnitt beschriebene Verfahren mit c amp = 0, 20 verwendet.
Dies führt dazu, dass für die Fehlerschätzung nur noch n red = 11 Eigenformen
berücksichtigt werden. Die mit Hilfe der Anfangsbedingungen des dualen Problems ermittelten
Einflussfaktoren für die ersten 20 Eigenformen sind in Bild 5.1 dargestellt.
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