dh+1 - am IFM

KAPITEL 5. SCHÄTZUNG DES ZEITINTEGRATIONSFEHLERS FÜR LINEARE PROBLEME
mit
Φ = [X 1 , X 2 ,..., X ndf .] und C = c m M + c k K (5.35)
Unter den gleichen Voraussetzungen ergibt sich auch für das duale Problem eine entkoppelte
Diagonalform. Sowohl die primale als auch die duale Lösung werden nun in
Modalkoordinaten dargestellt:
d = Φq p (5.36)
z = Φq d
q p ist die Lösung des primalen Problems in modalen Koordinaten, q d die entsprechende
duale Lösung. Das Einsetzen dieser Transformation in die Fehleridentität liefert für den
Fehler e t,i (t n ):
e t,i (t n ) =
∫ t n
0
m diag
{ }} {
c diag
{ }} {
k diag
{ }} {
q d · (Φ T F − Φ T MΦ ¨q p − Φ T CΦ ˙q p − Φ T KΦ q p )
} {{ }
R mod
dt (5.37)
R mod ist hier der Vektor der Residuen der einzelnen Eigenformen, m diag , c diag und k diag
sind die modalen Systemmatrizen, die aufgrund der Orthogonalität der Eigenformen
Diagonalmatrizen sind. Dies ermöglicht die Aufspaltung des Integrals in Gleichung
(5.37) in eine Summe von Integralen über die einzelnen Eigenformen:
⎛ ⎞
n
∑ df ∫ t n
e t,i (t n ) = ⎝ q d,j · R j dt⎠ (5.38)
j=1
0
Die modale Lösung des dualen Problems stellt somit ein Maß für den Einfluss der einzelnen
Eigenformen auf den Zeitintegrationsfehler des betrachteten Freiheitsgrades dar.
Ob eine bestimmte Eigenform überhaupt einen Einfluss auf den Zeitintegrationsfehler
in der Zielgröße hat, läßt sich direkt aus den modalen Anfangsbedingungen des dualen
Problems ablesen. Aus dem Zusammenhang
ż(t n ) = Φ˙q d (t n ) = −M −1 1 (5.39)
ergibt sich durch Multiplikation von links mit Φ T M unter Berücksichtigung der Orthogonalitätsbedingung:
m diag ˙q d (t n ) = Φ T M · (−M −1 )1 =⇒
⎡
˙q d (t n ) = m −1
diag ΦT (−1) = −
⎢
⎣
X 1,i
m 1
X 2,i
m 2
.
X n,i
m ndf
⎤
⎥
⎦ (5.40)
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