dh+1 - am IFM
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KAPITEL 5. SCHÄTZUNG DES ZEITINTEGRATIONSFEHLERS FÜR LINEARE PROBLEME<br />
mit<br />
Φ = [X 1 , X 2 ,..., X ndf .] und C = c m M + c k K (5.35)<br />
Unter den gleichen Voraussetzungen ergibt sich auch für das duale Problem eine entkoppelte<br />
Diagonalform. Sowohl die primale als auch die duale Lösung werden nun in<br />
Modalkoordinaten dargestellt:<br />
d = Φq p (5.36)<br />
z = Φq d<br />
q p ist die Lösung des primalen Problems in modalen Koordinaten, q d die entsprechende<br />
duale Lösung. Das Einsetzen dieser Transformation in die Fehleridentität liefert für den<br />
Fehler e t,i (t n ):<br />
e t,i (t n ) =<br />
∫ t n<br />
0<br />
m diag<br />
{ }} {<br />
c diag<br />
{ }} {<br />
k diag<br />
{ }} {<br />
q d · (Φ T F − Φ T MΦ ¨q p − Φ T CΦ ˙q p − Φ T KΦ q p )<br />
} {{ }<br />
R mod<br />
dt (5.37)<br />
R mod ist hier der Vektor der Residuen der einzelnen Eigenformen, m diag , c diag und k diag<br />
sind die modalen Systemmatrizen, die aufgrund der Orthogonalität der Eigenformen<br />
Diagonalmatrizen sind. Dies ermöglicht die Aufspaltung des Integrals in Gleichung<br />
(5.37) in eine Summe von Integralen über die einzelnen Eigenformen:<br />
⎛ ⎞<br />
n<br />
∑ df ∫ t n<br />
e t,i (t n ) = ⎝ q d,j · R j dt⎠ (5.38)<br />
j=1<br />
0<br />
Die modale Lösung des dualen Problems stellt somit ein Maß für den Einfluss der einzelnen<br />
Eigenformen auf den Zeitintegrationsfehler des betrachteten Freiheitsgrades dar.<br />
Ob eine bestimmte Eigenform überhaupt einen Einfluss auf den Zeitintegrationsfehler<br />
in der Zielgröße hat, läßt sich direkt aus den modalen Anfangsbedingungen des dualen<br />
Problems ablesen. Aus dem Zus<strong>am</strong>menhang<br />
ż(t n ) = Φ˙q d (t n ) = −M −1 1 (5.39)<br />
ergibt sich durch Multiplikation von links mit Φ T M unter Berücksichtigung der Orthogonalitätsbedingung:<br />
m diag ˙q d (t n ) = Φ T M · (−M −1 )1 =⇒<br />
⎡<br />
˙q d (t n ) = m −1<br />
diag ΦT (−1) = −<br />
⎢<br />
⎣<br />
X 1,i<br />
m 1<br />
X 2,i<br />
m 2<br />
.<br />
X n,i<br />
m ndf<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ (5.40)<br />
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