dh+1 - am IFM

KAPITEL 5. SCHÄTZUNG DES ZEITINTEGRATIONSFEHLERS FÜR LINEARE PROBLEME
zur Bestimmung des zeitlich globalen Fehlers, bzw. von
e l t,i(t n ) =
∫ t n
t m−1
z · Rdt (5.30)
zur Bestimmung des zeitlich lokalen Fehlers. Wenn sowohl die duale Lösung exakt
bestimmt als auch die Integration exakt durchgeführt wird, dann liefern die direkten
Auswertungen auch die exakten Fehlergrößen gemäß den gewählten Anfangsbedingungen.
Im Folgenden wird die numerische Lösung des dualen Problems mit dem gleichen
Integrationsverfahren wie das primale Problem bestimmt. Im Gegensatz zu den
Ausführungen bei der Schätzung des räumlichen Diskretisierungsfehlers ist hier die
numerische Lösung z k als Wichtungsfunktion zulässig, da es sich bei kontinuierlichen
Galerkinverfahren um Petrov-Galerkin-Verfahren handelt, d.h. z k /∈ V k .
Der Näherungscharakter des vorgestellten Fehlerschätzers ergibt sich also aus der numerischen
Bestimmung der dualen Lösung z → z k und der numerischen Auswertung des
Zeitintegrals. Die numerische Bestimmung des globalen Zeitintegrationsfehlerschätzers
ẽ t,i (t n ) am Freiheitsgrad i mit Hilfe einer numerischen Integration mit n ip Integrationspunkten
je Zeitintervall lautet dann:
e t,i (t n ) =
=⇒ ẽ t,i (t n ) =
⎛ ⎞
m∑
∫ t n
z · Rdt ≈ ⎝ z k · Rdt⎠ (5.31)
n=1
t n−1
(
m∑ ∑
nip
)
z k j · R j w j (t n − t n−1 ) . (5.32)
∫ t n
0
n=1
j=1
Die Schätzung des Zeitintegrationsfehlers umfasst also im Wesentlichen die Punkte:
1. Bestimmung der Anfangsbedingungen für das duale Problem gemäß Gleichung
(5.28). Im Falle einer diagonalisierten Massenmatrix wird nur auf den betrachteten
Freiheitsgrad eine Anfangsgeschwindigkeit aufgebracht. An den anderen
Knoten ist die Anfangsgeschwindigkeit Null.
2. Bestimmung der dualen Lösung an den Intervallgrenzen mit Hilfe des gewählten
Zeitintegrationsverfahrens.
3. Bestimmung des Residuums R und der dualen Lösung z an den Integrationspunkten
in jedem Zeitintervall.
4. Auswertung des Skalarproduktes z k j · R j , Wichten und Aufsummieren.
Aufgrund des gewählten quadratischen Verlaufes von d und z im Zeitintervall, müssen
im hier vorliegenden Fall bei Anwendung der Gauß-Quadratur 3 Integrationspunkte in
jedem Intervall gewählt werden. Entsprechend groß ist der numerische Aufwand für die
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