dh+1 - am IFM
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KAPITEL 5. SCHÄTZUNG DES ZEITINTEGRATIONSFEHLERS FÜR LINEARE PROBLEME<br />
zur Bestimmung des zeitlich globalen Fehlers, bzw. von<br />
e l t,i(t n ) =<br />
∫ t n<br />
t m−1<br />
z · Rdt (5.30)<br />
zur Bestimmung des zeitlich lokalen Fehlers. Wenn sowohl die duale Lösung exakt<br />
bestimmt als auch die Integration exakt durchgeführt wird, dann liefern die direkten<br />
Auswertungen auch die exakten Fehlergrößen gemäß den gewählten Anfangsbedingungen.<br />
Im Folgenden wird die numerische Lösung des dualen Problems mit dem gleichen<br />
Integrationsverfahren wie das primale Problem bestimmt. Im Gegensatz zu den<br />
Ausführungen bei der Schätzung des räumlichen Diskretisierungsfehlers ist hier die<br />
numerische Lösung z k als Wichtungsfunktion zulässig, da es sich bei kontinuierlichen<br />
Galerkinverfahren um Petrov-Galerkin-Verfahren handelt, d.h. z k /∈ V k .<br />
Der Näherungscharakter des vorgestellten Fehlerschätzers ergibt sich also aus der numerischen<br />
Bestimmung der dualen Lösung z → z k und der numerischen Auswertung des<br />
Zeitintegrals. Die numerische Bestimmung des globalen Zeitintegrationsfehlerschätzers<br />
ẽ t,i (t n ) <strong>am</strong> Freiheitsgrad i mit Hilfe einer numerischen Integration mit n ip Integrationspunkten<br />
je Zeitintervall lautet dann:<br />
e t,i (t n ) =<br />
=⇒ ẽ t,i (t n ) =<br />
⎛ ⎞<br />
m∑<br />
∫ t n<br />
z · Rdt ≈ ⎝ z k · Rdt⎠ (5.31)<br />
n=1<br />
t n−1<br />
(<br />
m∑ ∑<br />
nip<br />
)<br />
z k j · R j w j (t n − t n−1 ) . (5.32)<br />
∫ t n<br />
0<br />
n=1<br />
j=1<br />
Die Schätzung des Zeitintegrationsfehlers umfasst also im Wesentlichen die Punkte:<br />
1. Bestimmung der Anfangsbedingungen für das duale Problem gemäß Gleichung<br />
(5.28). Im Falle einer diagonalisierten Massenmatrix wird nur auf den betrachteten<br />
Freiheitsgrad eine Anfangsgeschwindigkeit aufgebracht. An den anderen<br />
Knoten ist die Anfangsgeschwindigkeit Null.<br />
2. Bestimmung der dualen Lösung an den Intervallgrenzen mit Hilfe des gewählten<br />
Zeitintegrationsverfahrens.<br />
3. Bestimmung des Residuums R und der dualen Lösung z an den Integrationspunkten<br />
in jedem Zeitintervall.<br />
4. Auswertung des Skalarproduktes z k j · R j , Wichten und Aufsummieren.<br />
Aufgrund des gewählten quadratischen Verlaufes von d und z im Zeitintervall, müssen<br />
im hier vorliegenden Fall bei Anwendung der Gauß-Quadratur 3 Integrationspunkte in<br />
jedem Intervall gewählt werden. Entsprechend groß ist der numerische Aufwand für die<br />
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