dh+1 - am IFM

5.4. SCHÄTZUNG DES GLOBALEN ZEITINTEGRATIONSFEHLERS
Fälle, in denen die von Riccius vorgeschlagene Schätzung des globalen Fehlers auf der
Basis der Abschätzung (5.17) sehr gute Ergebnisse liefert. In Anbetracht des erheblichen
Berechnungsaufwandes der Fehlerschätzung mit Hilfe des dualen Problems scheint
diese Vorgehensweise deshalb für lineare Bewegungsgleichungen ungeeignet. Für nichtlineare
Problemstellungen versagt diese Methode ebenfalls [73]. Darüberhinaus gilt für
nichtlineare Bewegungsgleichungen die Äquivalenz zwischen dem Newmarkverfahren
als Finite-Differenzen-Verfahren und dem Galerkinverfahren in der Zeit nicht mehr.
Die Schätzung der Anfangsbedingungen mit einem auf dem FD-Ansatz beruhenden
lokalen Fehlerschätzer erscheint daher auch aus diesem Gesichtspunkt nicht gerechtfertigt.
Das Problem der Wahl der Anfangsbedingungen lässt sich umgehen, indem der Zeitintegrationsfehler
nicht räumlich global in einer Norm geschätzt wird, sondern analog
zum Vorgehen in Kapitel 2 für ein Zielfunktional der Lösung bestimmt wird. Im Folgenden
wird exemplarisch die Beschränkung auf die Verschiebung in einem Freiheitsgrad
i behandelt. Die notwendigen Anfangsbedingungen sind dann eindeutig aus Gleichung
(5.25) zu bestimmen. Mit der Wahl z(t n ) = 0 ergibt sich:
ż(t n ) = −M −1 1 =⇒
∫ t n
z · Rdt = e t · MM −1 1 = e t,i = d i − d k i (5.28)
0
Hier ist 1 ein Einheitsvektor mit 1(j) = 1 für j = i und 1(j) = 0 für j ≠ i. Ein weiterer
Vorteil der Beschränkung auf einen Freiheitsgrad liegt darin, dass die Anfangsbedingungen
für das duale Problem im Gegensatz zu denen nach Gleichung (5.27) unabhängig
von der Zeit sind und die duale Lösung folglich nicht für jeden Zeitpunkt neu ermittelt
werden muss. Wegen dieser Eindeutigkeit der Anfangsbedingungen für das duale
Probleme beschränken sich die nachfolgenden Betrachtungen auf diesen Fall.
5.4 Schätzung des globalen Zeitintegrationsfehlers
Nachfolgend werden zwei Fehlerschätzer zur Schätzung des globalen Zeitintegrationsfehlers
in einem Freiheitsgrad i dargestellt.
5.4.1 Numerische Integration des dualen Problems
Der naheliegende Ansatz zur Fehlerschätzung des Zeitintegrationsfehlers an einem Freiheitsgrad
i zum Zeitpunkt t n beruht wiederum auf der direkten numerischen Auswertung
der Fehleridentität
e t,i (t n ) =
∫ t n
0
z · Rdt (5.29)
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