dh+1 - am IFM
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KAPITEL 5. SCHÄTZUNG DES ZEITINTEGRATIONSFEHLERS FÜR LINEARE PROBLEME<br />
Die Wichtungsfunktion z ist wiederum die Lösung eines homogenen dualen Problems<br />
M ¨z − Cż + Kz = 0 ∀ t ∈ [0,t n ] (5.23)<br />
mit Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t n . Mit Hilfe der Transformation t ∗ = t n − t<br />
ergibt sich für diese duale Differentialgleichung folgende Form:<br />
Mz ′′ + Cz ′ + Kz = 0 ∀ t ∗ ∈ [0,t n ] (5.24)<br />
(·) ′ = ∂(·) stellt hier die Ableitung nach der transformierten Zeit t ∗ dar. Gleichung<br />
∂t ∗<br />
(5.24) hat nun die gleiche Form wie das primale Problem (5.1) und kann folglich mit<br />
demselben Zeitintegrationsverfahren wie das primale Problem gelöst werden.<br />
Anfangsbedingungen für das duale Problem<br />
Wenn z Lösung des dualen Problems (5.23) ist, dann ist die mit Hilfe von Gleichung<br />
(5.22) bestimmte Fehlergröße nur noch von den Anfangsbedingungen des dualen Problems<br />
abhängig. Unter der Annahme, dass die primale Lösung die Anfangsbedingungen<br />
exakt erfüllt, d.h. dass e t (t = 0) = ė t (t = 0) = 0, fallen sämtliche Randterme bei t = 0<br />
weg und es ergibt sich eine Fehleridentität in der Form:<br />
∫ t n<br />
0<br />
z · Rdt = − [e t · Mż] tm + [ė t · Mz] tn + [e t · Cz] tn (5.25)<br />
Für verschiedene Fehlergrößen lassen sich nun die entsprechenden Anfangsbedingungen<br />
für das duale Problem angeben. Für die Wahl z(t n ) = 0 ergibt sich beispielsweise die<br />
Geschwindigkeit ż(t n ) als notwendige Anfangsbedingung zur Bestimmung der euklidischen<br />
Norm |e t (t n )| = √ e t (t n ) · e t (t n ) des Fehlers zu:<br />
ż(t n ) = − M −1 e t (t n )<br />
|e t (t n )|<br />
=⇒<br />
∫ t n<br />
0<br />
z · Rdt = e t(t n ) · e t (t n )<br />
|e t (t n )|<br />
= |e t (t n )| (5.26)<br />
Aus Gleichung (5.26) folgt, dass der zu bestimmende Fehler e t , bzw. die Fehlerverteilung,<br />
schon für die Anfangsbedingungen des dualen Problems bekannt sein müsste.<br />
Neumann [73] schlägt deshalb vor, die Anfangsbedingungen für das duale Problem<br />
selbst mit einem Fehlerschätzer für den lokalen Zeitintegrationsfehler für das Newmarkverfahren<br />
nach Riccius [98] zu schätzen:<br />
ż(t n ) = −M −1 ẽl(t n )<br />
|ẽ l (t n )|<br />
(5.27)<br />
Neumann zeigt anhand eines einfachen Beispiels, dass diese Annahme bei linearen homogenen<br />
Bewegungsgleichungen zu guten Ergebnissen führt. Das sind jedoch auch die<br />
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