dh+1 - am IFM

KAPITEL 5. SCHÄTZUNG DES ZEITINTEGRATIONSFEHLERS FÜR LINEARE PROBLEME
Die Wichtungsfunktion z ist wiederum die Lösung eines homogenen dualen Problems
M ¨z − Cż + Kz = 0 ∀ t ∈ [0,t n ] (5.23)
mit Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t n . Mit Hilfe der Transformation t ∗ = t n − t
ergibt sich für diese duale Differentialgleichung folgende Form:
Mz ′′ + Cz ′ + Kz = 0 ∀ t ∗ ∈ [0,t n ] (5.24)
(·) ′ = ∂(·) stellt hier die Ableitung nach der transformierten Zeit t ∗ dar. Gleichung
∂t ∗
(5.24) hat nun die gleiche Form wie das primale Problem (5.1) und kann folglich mit
demselben Zeitintegrationsverfahren wie das primale Problem gelöst werden.
Anfangsbedingungen für das duale Problem
Wenn z Lösung des dualen Problems (5.23) ist, dann ist die mit Hilfe von Gleichung
(5.22) bestimmte Fehlergröße nur noch von den Anfangsbedingungen des dualen Problems
abhängig. Unter der Annahme, dass die primale Lösung die Anfangsbedingungen
exakt erfüllt, d.h. dass e t (t = 0) = ė t (t = 0) = 0, fallen sämtliche Randterme bei t = 0
weg und es ergibt sich eine Fehleridentität in der Form:
∫ t n
0
z · Rdt = − [e t · Mż] tm + [ė t · Mz] tn + [e t · Cz] tn (5.25)
Für verschiedene Fehlergrößen lassen sich nun die entsprechenden Anfangsbedingungen
für das duale Problem angeben. Für die Wahl z(t n ) = 0 ergibt sich beispielsweise die
Geschwindigkeit ż(t n ) als notwendige Anfangsbedingung zur Bestimmung der euklidischen
Norm |e t (t n )| = √ e t (t n ) · e t (t n ) des Fehlers zu:
ż(t n ) = − M −1 e t (t n )
|e t (t n )|
=⇒
∫ t n
0
z · Rdt = e t(t n ) · e t (t n )
|e t (t n )|
= |e t (t n )| (5.26)
Aus Gleichung (5.26) folgt, dass der zu bestimmende Fehler e t , bzw. die Fehlerverteilung,
schon für die Anfangsbedingungen des dualen Problems bekannt sein müsste.
Neumann [73] schlägt deshalb vor, die Anfangsbedingungen für das duale Problem
selbst mit einem Fehlerschätzer für den lokalen Zeitintegrationsfehler für das Newmarkverfahren
nach Riccius [98] zu schätzen:
ż(t n ) = −M −1 ẽl(t n )
|ẽ l (t n )|
(5.27)
Neumann zeigt anhand eines einfachen Beispiels, dass diese Annahme bei linearen homogenen
Bewegungsgleichungen zu guten Ergebnissen führt. Das sind jedoch auch die
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