dh+1 - am IFM

5.3. DARSTELLUNG DES ZEITINTEGRATIONSFEHLERS MIT DER DWR-METHODE
rungsfehlers. Zunächst wird wiederum die schwache Formulierung der Differentialgleichung
des globalen Zeitintegrationsfehlers e t benötigt. Ausgangspunkt ist zunächst die
kontinuierliche Galerkinformulierung der semidiskreten Differentialgleichung (5.1):
⎛
⎞
m∑
∫ t n
⎝ w ·
(M ¨d
)
+ Cḋ + Kd − F dt⎠ = 0, ∀w ∈ V (5.18)
n=1
t n−1
V sind hier alle zulässigen zeitlichen Wichtungsfunktionen. Die zugehörige diskreten
Galerkinformulierung lautet:
⎛
⎞
m∑
∫ t n (
⎝ w k · M ¨d
)
k
n + Cḋk + Kd k − F dt⎠ = 0, ∀w k ∈ V k ⊂ V (5.19)
n=1
t n−1
Die Differenz der kontinuierlichen und der diskreten Formulierungen liefert für den
diskreten Testraum V k die bekannte Galerkinorthogonalität des Residuums R:
∫ t n
0
(
w k · M(¨d − ¨d
)
k
n) + C(ḋ − ḋk ) + K(d − d k ) dt = 0, (5.20)
} {{ }
R
bzw.
∫ t n
0
w k · (Më t + Cė t + Ke t )dt = 0 ∀w k ∈ V k ,
mit der Differentialgleichung für den globalen Zeitintegrationsfehler e t (t)
Më t + Cė t + Ke t = F − (M ¨d k + Cḋk + Kd k ) = R (5.21)
und den Anfangsbedingungen : e t (t = 0) = 0 und ė t (t = 0) = 0.
Der globale Zeitintegrationsfehler e t (t) erfüllt also die ursprüngliche Bewegungsgleichung
mit dem Residuum R als rechter Seite. Für die Schätzung des Fehlers in einem
Zielfunktional der Lösung d wird die Lösung z eines dualen Problems als Wichtungsfunktion
für die Differentialgleichung des Fehlers verwendet. Die Multiplikation von
Gleichung (5.21) mit der vektorwertigen Wichtungsfunktion z und die zweimalige partielle
Integration über die Zeit führen auf die Fehleridentität:
∫ t m
z · Rdt =
∫ t m
z · (Më t + Cė t + Ke t )dt (5.22)
0
=
0
∫ t m
0
e t · (M ¨z − Cż + Kz)dt − [e t · Mż] tn
0
+ [ė t · Mz] tn
0 + [e t · Cz] tn
0
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