dh+1 - am IFM
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5.3. DARSTELLUNG DES ZEITINTEGRATIONSFEHLERS MIT DER DWR-METHODE<br />
rungsfehlers. Zunächst wird wiederum die schwache Formulierung der Differentialgleichung<br />
des globalen Zeitintegrationsfehlers e t benötigt. Ausgangspunkt ist zunächst die<br />
kontinuierliche Galerkinformulierung der semidiskreten Differentialgleichung (5.1):<br />
⎛<br />
⎞<br />
m∑<br />
∫ t n<br />
⎝ w ·<br />
(M ¨d<br />
)<br />
+ Cḋ + Kd − F dt⎠ = 0, ∀w ∈ V (5.18)<br />
n=1<br />
t n−1<br />
V sind hier alle zulässigen zeitlichen Wichtungsfunktionen. Die zugehörige diskreten<br />
Galerkinformulierung lautet:<br />
⎛<br />
⎞<br />
m∑<br />
∫ t n (<br />
⎝ w k · M ¨d<br />
)<br />
k<br />
n + Cḋk + Kd k − F dt⎠ = 0, ∀w k ∈ V k ⊂ V (5.19)<br />
n=1<br />
t n−1<br />
Die Differenz der kontinuierlichen und der diskreten Formulierungen liefert für den<br />
diskreten Testraum V k die bekannte Galerkinorthogonalität des Residuums R:<br />
∫ t n<br />
0<br />
(<br />
w k · M(¨d − ¨d<br />
)<br />
k<br />
n) + C(ḋ − ḋk ) + K(d − d k ) dt = 0, (5.20)<br />
} {{ }<br />
R<br />
bzw.<br />
∫ t n<br />
0<br />
w k · (Më t + Cė t + Ke t )dt = 0 ∀w k ∈ V k ,<br />
mit der Differentialgleichung für den globalen Zeitintegrationsfehler e t (t)<br />
Më t + Cė t + Ke t = F − (M ¨d k + Cḋk + Kd k ) = R (5.21)<br />
und den Anfangsbedingungen : e t (t = 0) = 0 und ė t (t = 0) = 0.<br />
Der globale Zeitintegrationsfehler e t (t) erfüllt also die ursprüngliche Bewegungsgleichung<br />
mit dem Residuum R als rechter Seite. Für die Schätzung des Fehlers in einem<br />
Zielfunktional der Lösung d wird die Lösung z eines dualen Problems als Wichtungsfunktion<br />
für die Differentialgleichung des Fehlers verwendet. Die Multiplikation von<br />
Gleichung (5.21) mit der vektorwertigen Wichtungsfunktion z und die zweimalige partielle<br />
Integration über die Zeit führen auf die Fehleridentität:<br />
∫ t m<br />
z · Rdt =<br />
∫ t m<br />
z · (Më t + Cė t + Ke t )dt (5.22)<br />
0<br />
=<br />
0<br />
∫ t m<br />
0<br />
e t · (M ¨z − Cż + Kz)dt − [e t · Mż] tn<br />
0<br />
+ [ė t · Mz] tn<br />
0 + [e t · Cz] tn<br />
0<br />
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