dh+1 - am IFM

Einleitung
der räumlichen Diskretisierung fließend sind. So kann beispielsweise bei Schalenproblemen
die Wahl einer Approximationsordnung in die Dickenrichtung der Schale sowohl
als Wahl eines Schalenmodells als auch die Wahl einer Diskretisierungsordnung in
Dickenrichtung beispielsweise im Rahmen der Diskretisierung mit Hilfe der p-Methode
angesehen werden. Entsprechend kann auch die adaptive Anpassung der Interpolationsordnung
als Modelladaption oder als Adaption der räumlichen Diskretisierung
aufgefasst werden. Für die Schätzung des Modellfehlers führt deshalb beispielsweise
Rüter [102] noch zwischen dem physikalischen Problem und dem verwendeten mechanischen
Modell noch als Referenz das für die Problemstellung am besten geeignete
Modell, das sogenannte ”
State-of-the-Art“-Modell ein, welches in aller Regel ein Kontinuumsmodell
ist. Der Modellfehler wird dadurch nochmals unterteilt in den nicht zu
kontrollierenden ”
State-of-the-Art“-Fehler und den eigentlichen Modellfehler, der dann
jedoch ein Referenzfehler bezüglich des sehr feinen Referenzmodells darstellt. Ein ähnliches
Vorgehen findet sich auch in den Arbeiten von Oden et al. [78, 79]. Da für
viele Problemstellungen zum Beispiel die Randschichten oder singulären Punkte der
Lösung a-priori bestimmt werden können, und darüber hinaus auch die Grenzen der
verwendeten mechanischen Modelle bekannt sind, kann in aller Regel auch die Wahl
eines geeigneten Modells ohne Adaption des Modells a-priori erfolgen.
Die vorliegende Arbeit befasst sich deshalb ausschließlich mit den Diskretisierungsfehlern
in Folge der räumlichen und zeitlichen Diskretisierungen. Kernpunkt eines adaptiven
Algorithmus ist der Fehlerschätzer. Hierbei wird das Ziel verfolgt, den Fehler in
einem beliebigen Funktional der Lösung zu schätzen und anschließend mit Hilfe geeigneter
Adaptionstechniken zu kontrollieren. Das generelle Konzept der Fehlerschätzung
in beliebigen Zielfunktionalen geht auf Arbeiten von Johnson et al. [59] und Rannacher
& Becker [13] zurück und wird als Dual-Weighted-Residual-Konzept (DWR)
bezeichnet, was zum Ausdruck bringt, dass zur Fehlerschätzung das Residuum der
numerischen Lösung mit der Lösung eines dualen Hilfsproblems gewichtet wird. Die
DWR-Methode ist ein heuristisches Konzept zur Fehlerschätzung, d.h. strenge mathematische
Beweise lassen sich für die Methode – zumindest bisher – nicht angeben [8].
Die Effizienz der Methode zeigt sich aber in den Ergebnissen der damit behandelten
numerischen Beispiele. Unter diesem Gesichtspunkt scheinen auch die Vereinfachungen
des Konzeptes im Rahmen dieser Arbeit gerechtfertigt.
Der zweite Kernpunkt eines adaptiven Verfahrens ist die Anpassung der Diskretisierung.
In der Regel bildet der räumliche Diskretisierungsfehler den dominanten Anteil
des gesamten Diskretisierungsfehlers, weshalb sich große Teile der Arbeit mit dem
räumlichen Diskretisierungsfehler befassen. Neben der Herleitung geeigneter Fehlerdarstellungen
für den räumlichen Diskretisierungsfehler und darauf aufbauender Fehlerindikatoren
ist deshalb die praktische Einbindung der Fehlerschätzung in ortsadaptive
Verfahren eine zentrale Fragestellung dieser Arbeit. Bisher scheitert die praktische
Anwendung der Fehlerschätzung in Zielgrößen und darauf aufbauender Adaptionsverfahren
am enormen numerischen Aufwand und Speicherbedarf für die Fehlerschätzung,
welche oft den Aufwand für eine Neuberechnung des Problems mit einer feineren Diskretisierung
übersteigen. Im Verlauf der Arbeit werden deshalb Vorschläge zur Vereinfachung
und Aufwandsreduktion der Fehlerschätzung erarbeitet. Die damit zwangsläufig
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