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KAPITEL 4. GEOMETRISCH NICHTLINEARE PROBLEME<br />
Wesentlichen von den linearen Problemstellungen übernommen werden. Bei Verletzung<br />
des Fehlerkriteriums zum Zeitpunkt t n erfolgt eine geometrischen Interpolation der<br />
Verschiebungen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen zum Zeitpunkt t n−1 = t n −<br />
∆t n auf dem neuen Netz. Für die 7-Par<strong>am</strong>eter-Formulierung der Volumenschale ergibt<br />
sich zusätzlich die Notwendigkeit, die zu diesem interpolierten Verschiebungszustand<br />
gehörenden erweiterten Verzerrungen als innere Geschichtsvariablen auf dem neuen<br />
Netz zu bestimmen.<br />
Die Bedingung zur Bestimmung der erweiterten Verzerrungen für einen gegebenen Verschiebungsverlauf<br />
ergibt sich aus der 2. Zeile von Gleichung (1.91):<br />
∫<br />
∫<br />
E(u h ) : C : Ẽ(γ h)dV + Ẽ(β h ) : C : Ẽ(γ hdV = 0 ∀γ h ∈ Γ h (4.14)<br />
B 0 B 0<br />
Man erkennt sofort, dass die Bedingung (4.14) linear in den erweiterten Verzerrungen<br />
Ẽ(β h) ist. Hieraus folgt, dass für jeden gegebenen Verschiebungszustand mit Hilfe<br />
von Gleichung (4.14) die erweiterten Verzerrungen direkt, d.h. ohne Iteration direkt<br />
bestimmt werden können. Der ges<strong>am</strong>te Transferalgorithmus für die erweiterten Verzerrungen<br />
besteht d<strong>am</strong>it aus den folgenden Schritten:<br />
• Geometrische Interpolation der Verschiebungen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen<br />
zu Beginn des Zeitschrittes (t = t n−1 ) auf dem neuen Netz.<br />
• Berechnung der zugehörigen erweiterten Verzerrungen mit Hilfe der Beziehung<br />
(4.14).<br />
• Iterative Berechnung des Zustandes zum Zeitpunkt t n mit Hilfe des Newmark-<br />
Algorithmus.<br />
Zum Ende des Zeitschrittes liegt d<strong>am</strong>it ein zulässiger Zustand auf dem neuen Netz vor.<br />
Die Interpolation der Verschiebungsgrößen des alten Netzes auf dem neuen Netz zu Beginn<br />
des Zeitschrittes führt in der Regel dazu, dass in diesem Fall für die Berechnung<br />
des Zustandes zum Ende des Zeitschrittes erheblich mehr Iterationsschritte notwendig<br />
sind als in den anderen Zeitschritten. Darüber hinaus gilt auch hier wie im linearen<br />
Fall, dass der durch den Transfer in die Lösung eingebrachte Fehler, hier insbesondere<br />
der Fehler in lokalen Größen, bisher nicht zuverlässig abgeschätzt und minimiert<br />
werden kann. Der Einfluss des Datentransfers auf die Lösung zeigt sich auch in dem<br />
nachfolgenden numerischen Beispiel.<br />
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