dh+1 - am IFM

KAPITEL 4. GEOMETRISCH NICHTLINEARE PROBLEME
Wesentlichen von den linearen Problemstellungen übernommen werden. Bei Verletzung
des Fehlerkriteriums zum Zeitpunkt t n erfolgt eine geometrischen Interpolation der
Verschiebungen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen zum Zeitpunkt t n−1 = t n −
∆t n auf dem neuen Netz. Für die 7-Parameter-Formulierung der Volumenschale ergibt
sich zusätzlich die Notwendigkeit, die zu diesem interpolierten Verschiebungszustand
gehörenden erweiterten Verzerrungen als innere Geschichtsvariablen auf dem neuen
Netz zu bestimmen.
Die Bedingung zur Bestimmung der erweiterten Verzerrungen für einen gegebenen Verschiebungsverlauf
ergibt sich aus der 2. Zeile von Gleichung (1.91):
∫
∫
E(u h ) : C : Ẽ(γ h)dV + Ẽ(β h ) : C : Ẽ(γ hdV = 0 ∀γ h ∈ Γ h (4.14)
B 0 B 0
Man erkennt sofort, dass die Bedingung (4.14) linear in den erweiterten Verzerrungen
Ẽ(β h) ist. Hieraus folgt, dass für jeden gegebenen Verschiebungszustand mit Hilfe
von Gleichung (4.14) die erweiterten Verzerrungen direkt, d.h. ohne Iteration direkt
bestimmt werden können. Der gesamte Transferalgorithmus für die erweiterten Verzerrungen
besteht damit aus den folgenden Schritten:
• Geometrische Interpolation der Verschiebungen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen
zu Beginn des Zeitschrittes (t = t n−1 ) auf dem neuen Netz.
• Berechnung der zugehörigen erweiterten Verzerrungen mit Hilfe der Beziehung
(4.14).
• Iterative Berechnung des Zustandes zum Zeitpunkt t n mit Hilfe des Newmark-
Algorithmus.
Zum Ende des Zeitschrittes liegt damit ein zulässiger Zustand auf dem neuen Netz vor.
Die Interpolation der Verschiebungsgrößen des alten Netzes auf dem neuen Netz zu Beginn
des Zeitschrittes führt in der Regel dazu, dass in diesem Fall für die Berechnung
des Zustandes zum Ende des Zeitschrittes erheblich mehr Iterationsschritte notwendig
sind als in den anderen Zeitschritten. Darüber hinaus gilt auch hier wie im linearen
Fall, dass der durch den Transfer in die Lösung eingebrachte Fehler, hier insbesondere
der Fehler in lokalen Größen, bisher nicht zuverlässig abgeschätzt und minimiert
werden kann. Der Einfluss des Datentransfers auf die Lösung zeigt sich auch in dem
nachfolgenden numerischen Beispiel.
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