dh+1 - am IFM

4.2. FEHLERSCHÄTZUNG OHNE ZEITLICHE KOPPLUNG VON PRIMALEM UND DUALEM PROBLEM
dort nicht auf die zeitliche Kopplung von primalem und dualem Problem verzichtet
werden. In dem Beitrag von Fuentes et al. wird jedoch nur der Fehler zu einem
speziellen Zeitpunkt geschätzt. Eine Netzadaption auf Basis des Fehlerschätzers findet
nicht statt, d.h. die Netzverfeinerung bei den numerische Beispielen erfolgt uniform.
Dies bedeutet aber auch, dass wesentliche Informationen des Fehlerschätzers, wie etwa
die räumliche und zeitliche Verteilung des Fehlers, nicht für eine Verbesserung der
Diskretisierung verwendet werden.
Da in der vorliegenden Arbeit hauptsächlich Schwingungsprobleme behandelt werden,
bei denen der zeitliche Transport eine untergeordnete Rolle spielt, wird im Folgenden
wiederum ausschließlich ein Fehlerschätzer verwendet, welcher auf die zeitliche Kopplung
von primalem und dualem Problem verzichtet.
4.2 Fehlerschätzung ohne zeitliche Kopplung von
primalem und dualem Problem
Für die Fehlerschätzung ohne vollständige Lösung des dualen Problems werden die Annahmen
und Einschränkungen aus dem linearen Fall übernommen. Die Fehlerschätzung
basiert wie im Linearen auf der formalen Trennung des gesamten räumlichen Diskretisierungsfehlers
in einen rein räumlichen Anteil und in einen zeitlichen Anteil, welcher
analog zu den linearen Problemen als Phasenfehler bezeichnet wird. Bei der Fehlerschätzung
wird dann wieder nur der räumliche Anteil berücksichtigt, d.h. die aktuellen
Zustandsgrößen werden akzeptiert und der Fehlerschätzer beurteilt nur die Eignung
der gegebenen räumlichen Diskretisierung mit Hinblick auf die Zielgröße. Der Transport
des Fehlers über die Zeit bleibt unberücksichtigt, was die sinnvolle Anwendung
des Fehlerindikators auf Schwingungsprobleme beschränkt.
Nachfolgend werden nun Fehlerschätzer für die im Rahmen dieser Arbeit verwendeten
Volumen-Schalenelemente vorgestellt, welche auf der Glättung diskreter Größen des
primalen und dualen Problems beruhen.
4.2.1 Reine Verschiebungsformulierung
Die Fehlerschätzer ohne vollständige Lösung des Rückwärtsproblems beruhen auf der
Auswertung der zeitlichen Randterme zum aktuellen Zeitpunkt t n . Ein möglicher Ausgangspunkt
für die Herleitung eines Fehlerindikators für die reine Verschiebungsformulierung
ist somit die folgende linearisierte Fehlerdarstellung
E(u,u h ) = [ρ 0 (e S ,e Z ) + a T (u;e S ,e Z )] tn , (4.1)
welche auf der Linearisierung des Residuums des primalen Problems mit Hilfe der
Tangentenbilinearform a T (u h ; ·, ·) beruht.
Der Fehler in Zielfunktionalen der Geschwindigkeit ˙u lässt sich analog zum Vorgehen
im linearen Fall mit Hilfe des Fehlerschätzers nach Riccius [98] abschätzen. Da die
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