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4.2. FEHLERSCHÄTZUNG OHNE ZEITLICHE KOPPLUNG VON PRIMALEM UND DUALEM PROBLEM<br />
dort nicht auf die zeitliche Kopplung von primalem und dualem Problem verzichtet<br />
werden. In dem Beitrag von Fuentes et al. wird jedoch nur der Fehler zu einem<br />
speziellen Zeitpunkt geschätzt. Eine Netzadaption auf Basis des Fehlerschätzers findet<br />
nicht statt, d.h. die Netzverfeinerung bei den numerische Beispielen erfolgt uniform.<br />
Dies bedeutet aber auch, dass wesentliche Informationen des Fehlerschätzers, wie etwa<br />
die räumliche und zeitliche Verteilung des Fehlers, nicht für eine Verbesserung der<br />
Diskretisierung verwendet werden.<br />
Da in der vorliegenden Arbeit hauptsächlich Schwingungsprobleme behandelt werden,<br />
bei denen der zeitliche Transport eine untergeordnete Rolle spielt, wird im Folgenden<br />
wiederum ausschließlich ein Fehlerschätzer verwendet, welcher auf die zeitliche Kopplung<br />
von primalem und dualem Problem verzichtet.<br />
4.2 Fehlerschätzung ohne zeitliche Kopplung von<br />
primalem und dualem Problem<br />
Für die Fehlerschätzung ohne vollständige Lösung des dualen Problems werden die Annahmen<br />
und Einschränkungen aus dem linearen Fall übernommen. Die Fehlerschätzung<br />
basiert wie im Linearen auf der formalen Trennung des ges<strong>am</strong>ten räumlichen Diskretisierungsfehlers<br />
in einen rein räumlichen Anteil und in einen zeitlichen Anteil, welcher<br />
analog zu den linearen Problemen als Phasenfehler bezeichnet wird. Bei der Fehlerschätzung<br />
wird dann wieder nur der räumliche Anteil berücksichtigt, d.h. die aktuellen<br />
Zustandsgrößen werden akzeptiert und der Fehlerschätzer beurteilt nur die Eignung<br />
der gegebenen räumlichen Diskretisierung mit Hinblick auf die Zielgröße. Der Transport<br />
des Fehlers über die Zeit bleibt unberücksichtigt, was die sinnvolle Anwendung<br />
des Fehlerindikators auf Schwingungsprobleme beschränkt.<br />
Nachfolgend werden nun Fehlerschätzer für die im Rahmen dieser Arbeit verwendeten<br />
Volumen-Schalenelemente vorgestellt, welche auf der Glättung diskreter Größen des<br />
primalen und dualen Problems beruhen.<br />
4.2.1 Reine Verschiebungsformulierung<br />
Die Fehlerschätzer ohne vollständige Lösung des Rückwärtsproblems beruhen auf der<br />
Auswertung der zeitlichen Randterme zum aktuellen Zeitpunkt t n . Ein möglicher Ausgangspunkt<br />
für die Herleitung eines Fehlerindikators für die reine Verschiebungsformulierung<br />
ist somit die folgende linearisierte Fehlerdarstellung<br />
E(u,u h ) = [ρ 0 (e S ,e Z ) + a T (u;e S ,e Z )] tn , (4.1)<br />
welche auf der Linearisierung des Residuums des primalen Problems mit Hilfe der<br />
Tangentenbilinearform a T (u h ; ·, ·) beruht.<br />
Der Fehler in Zielfunktionalen der Geschwindigkeit ˙u lässt sich analog zum Vorgehen<br />
im linearen Fall mit Hilfe des Fehlerschätzers nach Riccius [98] abschätzen. Da die<br />
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