dh+1 - am IFM

KAPITEL 3. GEOMETRISCH LINEARE PROBLEME
Zusammenfassung und Bewertung
Das Beispiel der L-förmigen Kragplatte hat gezeigt, dass sich mit Hilfe des Fehlerindikators
(3.121) und der darauf basierenden Netzadaption eine erhebliche Steigerung
der Effizienz in der Abbildung lokaler Größen einer Eigenform erzielen lassen. Für die
Anwendung der Netzadaption für die Generierung von Berechnungsnetzen für transiente
Berechnungen ergeben sich allerdings einige Schwierigkeiten. So setzt sich die
Lösung für eine transiente Berechnung in der Regel aus mehreren Eigenformen zusammen.
Mit dem hier beschriebenen Verfahren lassen sich jedoch nur Netzadaptionen für
einzelne einfache Eigenwerte durchführen, so dass die Netze allenfalls nacheinander für
verschiedene Eigenformen adaptiert werden können. Darüber hinaus ist im Gegensatz
zum dem Vorgehen im vorangegangen Abschnitt keine Kontrolle der Größenordnung
des Diskretisierungsfehlers möglich.
Des Weiteren berücksichtigt die Eigenformadaption nicht die räumliche Verteilung der
äußeren Belastung. Die numerischen Beispiele im Rahmen der semidiskreten Methode
haben gezeigt, dass auch Netzadaptionen im Bereich von Lasteinleitungsstellen notwendig
sind.
Eine zentrale Rolle für die sinnvolle Anwendung der Eigenformadaption spielt die Auswahl
der maßgebenden Eigenformen. Dieser Aspekt wurde in den bisherigen Ausführungen
nicht behandelt und stellt auch weiterhin ein offenes Problem dar. Für die sinnvolle
Auswahl der zu adaptierenden Eigenformen ist einerseits maßgebend, welche Eigenformen
in der Lösung enthalten sind und andererseits, welche dieser Eigenformen maßgebenden
Anteil an der Zielgröße haben. Für die Bestimmung der maßgebenden Eigenformen
sind somit ausführliche Voruntersuchungen notwendig, welche für praktische
Aufgabenstellungen meist nicht gerechtfertigt sind.
Eine weitere Einschränkung der praktischen Anwendbarkeit liegt in der Beschränkung
auf einfache Eigenwerte und die zugehörigen Eigenformen. Dies impliziert auch, dass
der betrachtete Eigenwert ausreichend weit von den benachbarten Eigenwerten entfernt
ist. In Beispielrechnungen zeigte sich, dass insbesondere die Adaption für Zielfunktionale
höherer Eigenformen problematisch ist, da die höheren Eigenwerte in der Regel
verhältnismäßig dicht beieinander liegen. Dies führt zu numerischen Problemen bei der
Bestimmung des dualen Problems in Gleichung (3.101), da dann die Orthogonalitätsbedingung
für die (numerische) Eindeutigkeit der dualen Lösung nicht mehr ausreichend
ist.
Anhand des Beispiels der Halbkugel mit Loch hat sich darüber hinaus gezeigt, dass
die Netzadaption für die unteren, in der Regel biegedominanten Eigenformen zu einer
verschlechterten Konvergenz der Zielgröße in der betrachteten Eigenform führen kann,
wenn gekrümmte Schalenstrukturen mit Elementen mit bilinearer Verschiebungsinterpolation
diskretisiert werden.
Zusammenfassend lässt sich feststellen, dass die Generierung von Berechnungsnetzen
für Schwingungsprobleme auf der Basis der zielorientierten Fehlerschätzung für das
dynamische Eigenwertproblem, auch mit Hinblick auf den nicht unerheblichen Aufwand
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