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KAPITEL 3. GEOMETRISCH LINEARE PROBLEME<br />
Zus<strong>am</strong>menfassung und Bewertung<br />
Das Beispiel der L-förmigen Kragplatte hat gezeigt, dass sich mit Hilfe des Fehlerindikators<br />
(3.121) und der darauf basierenden Netzadaption eine erhebliche Steigerung<br />
der Effizienz in der Abbildung lokaler Größen einer Eigenform erzielen lassen. Für die<br />
Anwendung der Netzadaption für die Generierung von Berechnungsnetzen für transiente<br />
Berechnungen ergeben sich allerdings einige Schwierigkeiten. So setzt sich die<br />
Lösung für eine transiente Berechnung in der Regel aus mehreren Eigenformen zus<strong>am</strong>men.<br />
Mit dem hier beschriebenen Verfahren lassen sich jedoch nur Netzadaptionen für<br />
einzelne einfache Eigenwerte durchführen, so dass die Netze allenfalls nacheinander für<br />
verschiedene Eigenformen adaptiert werden können. Darüber hinaus ist im Gegensatz<br />
zum dem Vorgehen im vorangegangen Abschnitt keine Kontrolle der Größenordnung<br />
des Diskretisierungsfehlers möglich.<br />
Des Weiteren berücksichtigt die Eigenformadaption nicht die räumliche Verteilung der<br />
äußeren Belastung. Die numerischen Beispiele im Rahmen der semidiskreten Methode<br />
haben gezeigt, dass auch Netzadaptionen im Bereich von Lasteinleitungsstellen notwendig<br />
sind.<br />
Eine zentrale Rolle für die sinnvolle Anwendung der Eigenformadaption spielt die Auswahl<br />
der maßgebenden Eigenformen. Dieser Aspekt wurde in den bisherigen Ausführungen<br />
nicht behandelt und stellt auch weiterhin ein offenes Problem dar. Für die sinnvolle<br />
Auswahl der zu adaptierenden Eigenformen ist einerseits maßgebend, welche Eigenformen<br />
in der Lösung enthalten sind und andererseits, welche dieser Eigenformen maßgebenden<br />
Anteil an der Zielgröße haben. Für die Bestimmung der maßgebenden Eigenformen<br />
sind somit ausführliche Voruntersuchungen notwendig, welche für praktische<br />
Aufgabenstellungen meist nicht gerechtfertigt sind.<br />
Eine weitere Einschränkung der praktischen Anwendbarkeit liegt in der Beschränkung<br />
auf einfache Eigenwerte und die zugehörigen Eigenformen. Dies impliziert auch, dass<br />
der betrachtete Eigenwert ausreichend weit von den benachbarten Eigenwerten entfernt<br />
ist. In Beispielrechnungen zeigte sich, dass insbesondere die Adaption für Zielfunktionale<br />
höherer Eigenformen problematisch ist, da die höheren Eigenwerte in der Regel<br />
verhältnismäßig dicht beieinander liegen. Dies führt zu numerischen Problemen bei der<br />
Bestimmung des dualen Problems in Gleichung (3.101), da dann die Orthogonalitätsbedingung<br />
für die (numerische) Eindeutigkeit der dualen Lösung nicht mehr ausreichend<br />
ist.<br />
Anhand des Beispiels der Halbkugel mit Loch hat sich darüber hinaus gezeigt, dass<br />
die Netzadaption für die unteren, in der Regel biegedominanten Eigenformen zu einer<br />
verschlechterten Konvergenz der Zielgröße in der betrachteten Eigenform führen kann,<br />
wenn gekrümmte Schalenstrukturen mit Elementen mit bilinearer Verschiebungsinterpolation<br />
diskretisiert werden.<br />
Zus<strong>am</strong>menfassend lässt sich feststellen, dass die Generierung von Berechnungsnetzen<br />
für Schwingungsprobleme auf der Basis der zielorientierten Fehlerschätzung für das<br />
dyn<strong>am</strong>ische Eigenwertproblem, auch mit Hinblick auf den nicht unerheblichen Aufwand<br />
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