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3.10. NETZADAPTION AUF BASIS DES FEHLERS IN ZIELFUNKTIONALEN VON EIGENFORMEN<br />
Anhang A.3 dieser Arbeit angegebenen Entwicklung ergibt sich:<br />
Q(U) − Q(U h ) = 1 2 L′ ((U h ,Z h ); (E u ,E z )) + 1 2 L′ ((U,Z); (E u ,E z )) (3.107)<br />
+ 1 2<br />
∫ 1<br />
s=0<br />
L ′′′ ((U h ,Z h ) + s(E u ,E z ); (E u ,E z ), (E u ,E z ), (E u ,E z )) · s(s − 1)ds<br />
Da (U,Z) der gesuchte Sattelpunkt ist, gilt L ′ ((U,Z); (E u ,E z )) = 0. Da darüber<br />
hinaus L ′ ((U,Z)) linear in Z ist, enthält die 3. Ableitung von L ′ nur die drei Terme:<br />
L ′′′ ((U h ,Z h ) + s(E u ,E z ); (E u ,E z ), (E u ,E z ), (E u ,E z )) = (3.108)<br />
Q ′′′ (U h + sE u ;E u ,E u ,E u ) − 3A ′′ (U h + sE u ;E u E u ,E z )<br />
−A ′′′ (U h + sE u ;E u ,E u ,E u ,Z h + sE z )<br />
Aufgrund der hier gewählten Beschränkung auf lineare Zielfunktionale gilt weiterhin:<br />
Q ′′′ (U h + sE u ;E u ,E u ,E u ) = 0 (3.109)<br />
Des Weiteren folgt durch einfaches Ableiten von A:<br />
sowie<br />
A ′′′ (U h + sE u ;E u ,E u ,E u ,Z h + sE z ) = 0 (3.110)<br />
e λ<br />
{ }} {<br />
A ′′ (U h + sE u ;E u E u ,E z ) = 2 (λ − λ h )ρ 0 (e u ,e z ) (3.111)<br />
+ 2 (µ − µ h )<br />
} {{ }<br />
e µ<br />
ρ 0 (e u ,e u ).<br />
Hieraus ergibt sich als Zwischenergebnis für den Fehler in der Zielgröße:<br />
Q(U) − Q(U h ) = 1 2 L′ ((U h ,Z h ); (E u ,E z )) (3.112)<br />
+ 1 2<br />
∫ 1<br />
s=0<br />
(−6e λ ρ 0 (e u ,e z ) − 3e µ ρ 0 (e u ,e u )) · s · (s − 1)ds<br />
= 1 2 (Q′ (U;E u ) − A(U h ;E z ) − A ′ (U;E u ,Z h ))<br />
+ 1 2 e λρ 0 (e u ,e z ) + 1 4 e µρ 0 (e u ,e u )<br />
} {{ }<br />
R h<br />
Gleichung (3.112) lässt sich nun noch mit Hilfe der Residuen des primalen (3.75) und<br />
des dualen Problems (3.86) darstellen:<br />
Q(U) − Q(U h ) = 1 2 R u(E z ) + 1 2 R z(E u ) + R h (3.113)<br />
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