dh+1 - am IFM

3.10. NETZADAPTION AUF BASIS DES FEHLERS IN ZIELFUNKTIONALEN VON EIGENFORMEN
Anhang A.3 dieser Arbeit angegebenen Entwicklung ergibt sich:
Q(U) − Q(U h ) = 1 2 L′ ((U h ,Z h ); (E u ,E z )) + 1 2 L′ ((U,Z); (E u ,E z )) (3.107)
+ 1 2
∫ 1
s=0
L ′′′ ((U h ,Z h ) + s(E u ,E z ); (E u ,E z ), (E u ,E z ), (E u ,E z )) · s(s − 1)ds
Da (U,Z) der gesuchte Sattelpunkt ist, gilt L ′ ((U,Z); (E u ,E z )) = 0. Da darüber
hinaus L ′ ((U,Z)) linear in Z ist, enthält die 3. Ableitung von L ′ nur die drei Terme:
L ′′′ ((U h ,Z h ) + s(E u ,E z ); (E u ,E z ), (E u ,E z ), (E u ,E z )) = (3.108)
Q ′′′ (U h + sE u ;E u ,E u ,E u ) − 3A ′′ (U h + sE u ;E u E u ,E z )
−A ′′′ (U h + sE u ;E u ,E u ,E u ,Z h + sE z )
Aufgrund der hier gewählten Beschränkung auf lineare Zielfunktionale gilt weiterhin:
Q ′′′ (U h + sE u ;E u ,E u ,E u ) = 0 (3.109)
Des Weiteren folgt durch einfaches Ableiten von A:
sowie
A ′′′ (U h + sE u ;E u ,E u ,E u ,Z h + sE z ) = 0 (3.110)
e λ
{ }} {
A ′′ (U h + sE u ;E u E u ,E z ) = 2 (λ − λ h )ρ 0 (e u ,e z ) (3.111)
+ 2 (µ − µ h )
} {{ }
e µ
ρ 0 (e u ,e u ).
Hieraus ergibt sich als Zwischenergebnis für den Fehler in der Zielgröße:
Q(U) − Q(U h ) = 1 2 L′ ((U h ,Z h ); (E u ,E z )) (3.112)
+ 1 2
∫ 1
s=0
(−6e λ ρ 0 (e u ,e z ) − 3e µ ρ 0 (e u ,e u )) · s · (s − 1)ds
= 1 2 (Q′ (U;E u ) − A(U h ;E z ) − A ′ (U;E u ,Z h ))
+ 1 2 e λρ 0 (e u ,e z ) + 1 4 e µρ 0 (e u ,e u )
} {{ }
R h
Gleichung (3.112) lässt sich nun noch mit Hilfe der Residuen des primalen (3.75) und
des dualen Problems (3.86) darstellen:
Q(U) − Q(U h ) = 1 2 R u(E z ) + 1 2 R z(E u ) + R h (3.113)
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