dh+1 - am IFM

3.10. NETZADAPTION AUF BASIS DES FEHLERS IN ZIELFUNKTIONALEN VON EIGENFORMEN
Das duale Problem für Eigenwertaufgaben
Die Bestimmung des Zielfunktionals Q(U) einer speziellen Eigenform lässt sich allgemein
mit Hilfe des folgenden Minimierungsproblems darstellen:
Q(U) =
inf (Q(V )) mit M = {V ∈ V;A(V ;W) = 0 ∀W ∈ V} (3.77)
V ∈ M
Das Minimum U ∈ V von (3.77) entspricht dann einem Sattelpunkt (U,Z) ∈ V × V
des Lagrangefunktionals
L((U,Z)) = Q(U) − A(U;Z), (3.78)
mit Z = {z,µ} ∈ V. Z bezeichnet hier wiederum die Lösung des noch zu bestimmenden
dualen Problems. Für den Sattelpunkt (U,Z) ∈ V × V muss die erste Ableitung
des Lagrangefunktionals verschwinden:
L ′ ((U,Z); (V ,W)) = 0 ∀(V ,W) ∈ V × V (3.79)
Die Ableitung L ′ des Lagrangefunktionals ist dabei definiert als:
( )
L((U,Z) + Θ(V ,W)) − L((U,Z))
L ′ ((U,Z); (V ,W)) = lim
Θ→0 Θ
(3.80)
Im vorliegenden Fall ergibt sich die Ableitung L ′ zu:
L ′ ((U,Z); (V ,W)) = Q ′ (U;V ) − A ′ (U;V ,Z) − A(U;W) (3.81)
mit den Ableitungen:
( )
Q(U + ΘV ) − Q(U)
Q ′ (U;V ) = lim
Θ→0 Θ
A ′ (U;V ,Z) = lim
Θ→0
( A(U + ΘV ;Z) − A(U;Z)
Θ
(3.82)
)
. (3.83)
Da die Bedingung (3.79) für beliebige Testfunktionen erfüllt sein muss, lässt sie sich
mit Hilfe der Testfunktionen (0,W) und (V ,0) in zwei Bestimmungsgleichungen für
den Sattelpunkt (U,Z) entkoppeln. Zusammen mit Gleichung (3.81) ergibt sich dann:
A(U;W) = 0 ∀W ∈ V
A ′ (U;V ,Z) = Q ′ (U;V ) ∀V ∈ V
(3.84)
Die erste Zeile in (3.84) entspricht gerade dem primalen Eigenwertproblem (3.70), die
zweite Zeile ist das duale Problem. Die entsprechende diskrete Form des dualen Problem
lautet
A ′ (U h ;V h ,Z h ) = Q ′ (U h ;V h ) ∀V h ∈ V h (3.85)
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