dh+1 - am IFM
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3.10. NETZADAPTION AUF BASIS DES FEHLERS IN ZIELFUNKTIONALEN VON EIGENFORMEN<br />
Das duale Problem für Eigenwertaufgaben<br />
Die Bestimmung des Zielfunktionals Q(U) einer speziellen Eigenform lässt sich allgemein<br />
mit Hilfe des folgenden Minimierungsproblems darstellen:<br />
Q(U) =<br />
inf (Q(V )) mit M = {V ∈ V;A(V ;W) = 0 ∀W ∈ V} (3.77)<br />
V ∈ M<br />
Das Minimum U ∈ V von (3.77) entspricht dann einem Sattelpunkt (U,Z) ∈ V × V<br />
des Lagrangefunktionals<br />
L((U,Z)) = Q(U) − A(U;Z), (3.78)<br />
mit Z = {z,µ} ∈ V. Z bezeichnet hier wiederum die Lösung des noch zu bestimmenden<br />
dualen Problems. Für den Sattelpunkt (U,Z) ∈ V × V muss die erste Ableitung<br />
des Lagrangefunktionals verschwinden:<br />
L ′ ((U,Z); (V ,W)) = 0 ∀(V ,W) ∈ V × V (3.79)<br />
Die Ableitung L ′ des Lagrangefunktionals ist dabei definiert als:<br />
( )<br />
L((U,Z) + Θ(V ,W)) − L((U,Z))<br />
L ′ ((U,Z); (V ,W)) = lim<br />
Θ→0 Θ<br />
(3.80)<br />
Im vorliegenden Fall ergibt sich die Ableitung L ′ zu:<br />
L ′ ((U,Z); (V ,W)) = Q ′ (U;V ) − A ′ (U;V ,Z) − A(U;W) (3.81)<br />
mit den Ableitungen:<br />
( )<br />
Q(U + ΘV ) − Q(U)<br />
Q ′ (U;V ) = lim<br />
Θ→0 Θ<br />
A ′ (U;V ,Z) = lim<br />
Θ→0<br />
( A(U + ΘV ;Z) − A(U;Z)<br />
Θ<br />
(3.82)<br />
)<br />
. (3.83)<br />
Da die Bedingung (3.79) für beliebige Testfunktionen erfüllt sein muss, lässt sie sich<br />
mit Hilfe der Testfunktionen (0,W) und (V ,0) in zwei Bestimmungsgleichungen für<br />
den Sattelpunkt (U,Z) entkoppeln. Zus<strong>am</strong>men mit Gleichung (3.81) ergibt sich dann:<br />
A(U;W) = 0 ∀W ∈ V<br />
A ′ (U;V ,Z) = Q ′ (U;V ) ∀V ∈ V<br />
(3.84)<br />
Die erste Zeile in (3.84) entspricht gerade dem primalen Eigenwertproblem (3.70), die<br />
zweite Zeile ist das duale Problem. Die entsprechende diskrete Form des dualen Problem<br />
lautet<br />
A ′ (U h ;V h ,Z h ) = Q ′ (U h ;V h ) ∀V h ∈ V h (3.85)<br />
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