dh+1 - am IFM

3.10. NETZADAPTION AUF BASIS DES FEHLERS IN ZIELFUNKTIONALEN VON EIGENFORMEN
bereits bekannten Verfahren im Rahmen der räumlichen Fehlerschätzung bei der semidiskreten
Finite-Elemente-Methode. Mit Hilfe eines dualen Problems wird zunächst
eine geeignete Darstellung des Diskretisierungsfehlers in einer Zielgröße abgeleitet. Auf
der Basis dieser Fehlerdarstellung wird ein Fehlerindikator entwickelt, der auf den bereits
bekannten Zienkiewicz-Zhu-Fehlerschätzer zurückgreift. Der Fehlerindikator dient
dann als Basis für die zielorientierte Adaption der Raumdiskretisierung.
Starke Form des Eigenwertproblems
Das Eigenwertproblem ergibt sich aus dem homogenen Sonderfall
divσ(u(x,t)) − ρ 0 ü(x,t) = 0 (3.64)
der Cauchyschen Bewegungsgleichung unter der Annahme homogener Anfangs- und
Randbedingungen. Mit dem Separationsansatz
u(x,t) = ū(x) · e iωt (3.65)
lässt sich die Zeitabhängigkeit abspalten und es ergibt sich das Eigenwertproblem
divσ(ū) + ρ 0 λū = 0 (3.66)
mit den reellen Eigenwerten λ = ω 2 . Die Kenntnis der Eigenkreisfrequenzen ω = 2πf
spielt in der Strukturdynamik eine wesentliche Rolle zur Beurteilung des Schwingungsverhaltens
und des Abstimmungsverhältnisses bei gegebener Anregung der Struktur.
Für die Umsetzung mit der Methode der finiten Elemente wird zusätzlich noch die
variationelle Form des Eigenwertproblems benötigt.
Variationelle Form des Eigenwertproblems
Für die variationelle Form des Eigenwertproblems wird (3.66) mit einer Testfunktion
w(x) multipliziert. Nach partieller Integration des Steifigkeitsterms erhält man die variationelle
Form des Eigenwertproblems. Die variationelle Form der Eigenwertaufgabe
besteht dann aus dem Auffinden von Eigenpaaren U = {ū,λ} ∈ V = W × R, für die
gilt:
a(ū,w) = λρ 0 (ū,w) B0 ∀w ∈ W (3.67)
ρ 0 (ū,ū) B0 = 1 (3.68)
Die Normierung (3.68) der modalen Massen ist notwendig, um jedem Eigenwert λ eine –
bis auf das Vorzeichen – eindeutig bestimmte Eigenform zuzuordnen. Aus Gründen der
Übersichtlichkeit werden das Eigenwertproblem (3.67) und die Normierung (3.68) nun
noch mit Hilfe der Lagrangeschen Multiplikatorenmethode zusammengefasst. Hierfür
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