dh+1 - am IFM
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3.10. NETZADAPTION AUF BASIS DES FEHLERS IN ZIELFUNKTIONALEN VON EIGENFORMEN<br />
bereits bekannten Verfahren im Rahmen der räumlichen Fehlerschätzung bei der semidiskreten<br />
Finite-Elemente-Methode. Mit Hilfe eines dualen Problems wird zunächst<br />
eine geeignete Darstellung des Diskretisierungsfehlers in einer Zielgröße abgeleitet. Auf<br />
der Basis dieser Fehlerdarstellung wird ein Fehlerindikator entwickelt, der auf den bereits<br />
bekannten Zienkiewicz-Zhu-Fehlerschätzer zurückgreift. Der Fehlerindikator dient<br />
dann als Basis für die zielorientierte Adaption der Raumdiskretisierung.<br />
Starke Form des Eigenwertproblems<br />
Das Eigenwertproblem ergibt sich aus dem homogenen Sonderfall<br />
divσ(u(x,t)) − ρ 0 ü(x,t) = 0 (3.64)<br />
der Cauchyschen Bewegungsgleichung unter der Annahme homogener Anfangs- und<br />
Randbedingungen. Mit dem Separationsansatz<br />
u(x,t) = ū(x) · e iωt (3.65)<br />
lässt sich die Zeitabhängigkeit abspalten und es ergibt sich das Eigenwertproblem<br />
divσ(ū) + ρ 0 λū = 0 (3.66)<br />
mit den reellen Eigenwerten λ = ω 2 . Die Kenntnis der Eigenkreisfrequenzen ω = 2πf<br />
spielt in der Strukturdyn<strong>am</strong>ik eine wesentliche Rolle zur Beurteilung des Schwingungsverhaltens<br />
und des Abstimmungsverhältnisses bei gegebener Anregung der Struktur.<br />
Für die Umsetzung mit der Methode der finiten Elemente wird zusätzlich noch die<br />
variationelle Form des Eigenwertproblems benötigt.<br />
Variationelle Form des Eigenwertproblems<br />
Für die variationelle Form des Eigenwertproblems wird (3.66) mit einer Testfunktion<br />
w(x) multipliziert. Nach partieller Integration des Steifigkeitsterms erhält man die variationelle<br />
Form des Eigenwertproblems. Die variationelle Form der Eigenwertaufgabe<br />
besteht dann aus dem Auffinden von Eigenpaaren U = {ū,λ} ∈ V = W × R, für die<br />
gilt:<br />
a(ū,w) = λρ 0 (ū,w) B0 ∀w ∈ W (3.67)<br />
ρ 0 (ū,ū) B0 = 1 (3.68)<br />
Die Normierung (3.68) der modalen Massen ist notwendig, um jedem Eigenwert λ eine –<br />
bis auf das Vorzeichen – eindeutig bestimmte Eigenform zuzuordnen. Aus Gründen der<br />
Übersichtlichkeit werden das Eigenwertproblem (3.67) und die Normierung (3.68) nun<br />
noch mit Hilfe der Lagrangeschen Multiplikatorenmethode zus<strong>am</strong>mengefasst. Hierfür<br />
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