dh+1 - am IFM

KAPITEL 3. GEOMETRISCH LINEARE PROBLEME
die Newmarkansätze (1.102) mit Hilfe des Transferoperators T wie folgt modifiziert:
d n+1 = Td n + ∆tTḋn + ∆t 2 [
( 1 2 − β)T ¨d n + β¨d n+1
]
ḋ n+1 =
Tḋn + ∆t
[(1 − γ)T ¨d
]
n + γ¨d n+1
(3.56)
Der Transferoperator T lautet dann nach Radovitzky & Ortiz [92] allgemein:
∫
T = M −1
n+1 · ρ 0 N T n+1 · N n dV (3.57)
B 0
Hierin bezeichnet N n+1 die Interpolationsfunktionen auf dem neuen und N n die Verschiebungsansätze
auf dem alten Netz. M n+1 ist die Massenmatrix der neuen Diskretisierung.
Für die hier verwendete hierarchische Netzverfeinerung gilt, dass die Ansatzfunktionen
der alten Raumdiskretisierung in den neuen Verschiebungsansätzen enthalten
sind. Die Ansatzfunktionen N n lassen sich folglich mit Hilfe der Ansätze N n+1 wie
folgt ausdrücken:
N n = N n+1 · C (3.58)
Die Matrix C enthält die Zwangsbedingungen, welche die Ansätze N n+1 auf die
Ansätze N n reduzieren. Das Einsetzen dieser Beziehung in die allgemeine Definition
des Transferoperators (3.57) liefert dann den folgenden einfachen Zusammenhang:
∫
T = M −1
n+1 · ρ 0 N T n+1 · N n+1 dV ·C = C (3.59)
B
}
0
{{ }
M n+1
Der Transferoperator reduziert sich also im Falle der hierarchischen Verfeinerung auf
die rein geometrische Interpolation der alten Zustandsgrößen auf dem neuen Netz.
Ergänzend sollte noch angemerkt werden, dass die hier gemachten Ausführungen streng
genommen nur gültig sind, wenn sich in Folge der Netzverfeinerung nicht die Geometrie
des Berechnungsgebietes ändert. Bei gekrümmten Strukturen und gekrümmten
Rändern gelten die Voraussetzungen demnach nicht. Es wird aber angenommen, dass
sich die Geometrie bei der Netzverfeinerung nur moderat ändert und der Transfer deshalb
auch auf diese Fälle übertragen werden kann.
Zusammenfassend setzt sich der Datentransfer damit aus den folgenden Schritten zusammen:
Überschreitet der geschätzte Fehler zu einem Zeitpunkt t n+1 die vorgegebene
Toleranz, so erfolgt zunächst
• eine lineare Interpolation der Knotendaten des alten Netzes zum Zeitpunkt t n
auf das neue Netz und anschließend die
• Berechnung der Zustandsgrößen zum Ende des Zeitschrittes mit Hilfe des Newmarkverfahrens.
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