dh+1 - am IFM
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KAPITEL 3. GEOMETRISCH LINEARE PROBLEME<br />
die Newmarkansätze (1.102) mit Hilfe des Transferoperators T wie folgt modifiziert:<br />
d n+1 = Td n + ∆tTḋn + ∆t 2 [<br />
( 1 2 − β)T ¨d n + β¨d n+1<br />
]<br />
ḋ n+1 =<br />
Tḋn + ∆t<br />
[(1 − γ)T ¨d<br />
]<br />
n + γ¨d n+1<br />
(3.56)<br />
Der Transferoperator T lautet dann nach Radovitzky & Ortiz [92] allgemein:<br />
∫<br />
T = M −1<br />
n+1 · ρ 0 N T n+1 · N n dV (3.57)<br />
B 0<br />
Hierin bezeichnet N n+1 die Interpolationsfunktionen auf dem neuen und N n die Verschiebungsansätze<br />
auf dem alten Netz. M n+1 ist die Massenmatrix der neuen Diskretisierung.<br />
Für die hier verwendete hierarchische Netzverfeinerung gilt, dass die Ansatzfunktionen<br />
der alten Raumdiskretisierung in den neuen Verschiebungsansätzen enthalten<br />
sind. Die Ansatzfunktionen N n lassen sich folglich mit Hilfe der Ansätze N n+1 wie<br />
folgt ausdrücken:<br />
N n = N n+1 · C (3.58)<br />
Die Matrix C enthält die Zwangsbedingungen, welche die Ansätze N n+1 auf die<br />
Ansätze N n reduzieren. Das Einsetzen dieser Beziehung in die allgemeine Definition<br />
des Transferoperators (3.57) liefert dann den folgenden einfachen Zus<strong>am</strong>menhang:<br />
∫<br />
T = M −1<br />
n+1 · ρ 0 N T n+1 · N n+1 dV ·C = C (3.59)<br />
B<br />
}<br />
0<br />
{{ }<br />
M n+1<br />
Der Transferoperator reduziert sich also im Falle der hierarchischen Verfeinerung auf<br />
die rein geometrische Interpolation der alten Zustandsgrößen auf dem neuen Netz.<br />
Ergänzend sollte noch angemerkt werden, dass die hier gemachten Ausführungen streng<br />
genommen nur gültig sind, wenn sich in Folge der Netzverfeinerung nicht die Geometrie<br />
des Berechnungsgebietes ändert. Bei gekrümmten Strukturen und gekrümmten<br />
Rändern gelten die Voraussetzungen demnach nicht. Es wird aber angenommen, dass<br />
sich die Geometrie bei der Netzverfeinerung nur moderat ändert und der Transfer deshalb<br />
auch auf diese Fälle übertragen werden kann.<br />
Zus<strong>am</strong>menfassend setzt sich der Datentransfer d<strong>am</strong>it aus den folgenden Schritten zus<strong>am</strong>men:<br />
Überschreitet der geschätzte Fehler zu einem Zeitpunkt t n+1 die vorgegebene<br />
Toleranz, so erfolgt zunächst<br />
• eine lineare Interpolation der Knotendaten des alten Netzes zum Zeitpunkt t n<br />
auf das neue Netz und anschließend die<br />
• Berechnung der Zustandsgrößen zum Ende des Zeitschrittes mit Hilfe des Newmarkverfahrens.<br />
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