dh+1 - am IFM

3.9. ADAPTION DES RAUMGITTERS
sprünglichen Zustand ergeben. Insbesondere muss im Falle identischer Netze der
Transferoperator die Identitätsmatrix ergeben.
Die Wichtung der einzelnen Anforderungen ist dann in der Regel von der Art des
zugrunde liegenden physikalischen Problems abhängig. So spielt beispielsweise die Lokalität
der Datenübertragung bei Problemen der Plastizität eine große Rolle, siehe
Peric et al. [82, 85].
Für die Probleme der Strukturdynamik ist beim Datentransfer zwischen Wellenausbreitungsproblemen
und Schwingungsproblemen zu unterscheiden. Bei der Simulation
der Ausbreitung von Wellen ist insbesondere die Erhaltung lokaler Eigenschaften
bei der Datenübertragung von Bedeutung. Numerische Untersuchungen von Riccius
[98] zeigen, dass bei der Simulation von Wellenausbreitungen die Wahl des Transferalgorithmus
maßgeblichen Einfluss auf die weiteren Netzveränderungen innerhalb des
adaptiven Verfahrens und damit auf das Ergebnis der gesamten Berechnung haben
kann. Problematisch bei Wellenausbreitungsproblemen ist die Tatsache, dass im Sinne
der numerischen Effizienz jeweils nur im Bereich der Wellenfront eine ausreichend feine
Diskretisierung erforderlich ist, wohingegen in den Bereichen, die die Welle bereits
durchlaufen hat, eine Vergröberung des Netzes wünschenswert ist. Numerische Untersuchungen
haben jedoch ergeben, dass insbesondere die Netzvergröberung hinsichtlich
des Datentransfers zu Problemen, z.B. bezüglich der Energieerhaltung, führen kann.
Durch das Entfernen von Knoten wird in diesem lokalen Bereich auch ein Teil der
Energie aus dem System entfernt. Wird nun, wie bei Riccius [98] die globale Energieerhaltung
durch nachträgliche globale Skalierung der Daten auf dem neuen Netz
erzwungen, so findet im Endeffekt eine Verteilung dieser Energie über das gesamte
Gebiet statt. Hierdurch kann durch den Datentransfer der lokale Charakter der Welle
verfälscht werden. Wird hingegen auf die globale Erhaltung der Gesamtenergie verzichtet,
so entspricht der Datentransfer einer künstlichen, unphysikalischen Dämpfung, die
ebenfalls das Berechnungsergebnis verfälscht. Die lokale Netzverfeinerung ohne gleichzeitige
Vergröberung hingegen ist in diesem Sinne weniger kritisch. Die hier gemachten
Aussagen und die Ergebnisse von Riccius [98] führen zu der Empfehlung, dass für
die Simulation der Wellenausbreitung mit Hilfe der Methode der finiten Elemente eine
gleichmäßige möglichst feine Raumdiskretisierung verwendet werden sollte. Aufgrund
der hier gemachten Ausführungen wird im Rahmen dieser Arbeit auf eine Netzvergröberung
verzichtet und nur eine hierarchische Netzverfeinerung durchgeführt.
Die heutzutage allgemein verwendeten Verfahren beim Datentransfer zwischen unterschiedlichen
Netzen basieren i.d.R. auf der von Ortiz & Quigley [83] angegebenen
Vorgehensweise. Ortiz & Quigley fordern die sogenannte variationelle Konsistenz
des Transfers mit dem zugrunde liegenden Variationsproblem. Dabei wird vorausgesetzt,
dass der schwachen Formulierung des Problems ein Variationsfunktional zugrunde
liegt. Für Problemstellungen in der Dynamik wird in Radovitzky & Ortiz [92]
ein Transferoperator für die nichtlineare Dynamik unter Verwendung des Newmarkverfahrens
angegeben. Es wird angenommen, dass die Zustandsgrößen zum Zeitpunkt t n
auf dem alten Netz gegeben sind und am Ende des Zeitschrittes zum Zeitpunkt t n+1 ein
Gleichgewichtszustand auf der neuen Raumdiskretisierung gesucht ist. Hierfür werden
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