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KAPITEL 3. GEOMETRISCH LINEARE PROBLEME
Eine ähnliche pragmatische Vorgehensweise mit beschränkter zeitlicher Kopplung des
dualen und primalen Problems findet sich auch in Maute [70]. In beiden Fällen werden
jedoch keine Voraussetzungen für die gemachten Vereinfachungen angegeben. Die reduzierte
Lösung des dualen Problems wird jeweils nur mit der Minimierung des Aufwands
begründet.
Problematisch bei der Anwendung des Fehlerschätzers ist die Tatsache, dass hier anhand
einer zeitlich lokalen Fehlerverteilung, das duale Problem wird nur im letzten
Zeitschritt gelöst, auf den zeitlich globalen Fehler zum Zeitpunkt t n geschlossen werden
soll. Dies ist nur dann sinnvoll, wenn eine quasi-stationäre Bewegung vorliegt, sich
die grundlegende ’Bewegungsform’ also nicht mit der Zeit ändert. Die zeitliche Änderung
der dominanten Bewegungsform z.B. infolge transienter Lasten kann somit mit
dem dargestellten Fehlerindikator nicht erfasst werden.
Trotzdem erzielt Neumann mit dem Fehlerindikator gute Ergebnisse bei der Netzadaption
bei Problemen mit veränderlichen Lasten. Dies lässt sich damit begründen, dass
Neumann den Fehlerindikator, welcher eigentlich den Fehler zum Zeitpunkt t n infolge
der räumlichen Diskretisierung im Intervall [0,t n ] abschätzt, im ortsadaptiven Verfahren
als Basis für die Netzverfeinerung zum Zeitpunkt t n verwendet. Da darüber hinaus
ausschließlich eine Verfeinerung des Raumnetzes erfolgt, werden alle im Verlauf der Berechnung
auftretenden Bewegungszustände ausreichend erfasst und das resultierende
endgültige Netz besitzt eine für alle Zeitpunkte ausreichende Netzfeinheit.
Die Schwächen des von Neumann vorgeschlagenen Fehlerschätzers und des darauf aufbauenden
ortsadaptiven Verfahrens liegen also einerseits darin, dass für die Herleitung
des Fehlerschätzers zu viele Annahmen getroffen werden, die bei allgemeinen Problemstellungen
nicht gegeben sind, und andererseits werden im ortsadaptiven Verfahren
zeitlich globale Fehlerschätzung und zeitlich lokale Netzveränderung miteinander gekoppelt.
Aufgrund der eindeutigeren theoretischen Grundlage sind somit die im vorangegangen
Abschnitt präsentierten Fehlerschätzer ohne zeitliche Kopplung des dualen und
primalen Problems vorzuziehen.
Eine weitere Möglichkeit zur Aufwandsreduzierung bei der Fehlerschätzung könnte
bei gedämpften Problemen darin bestehen, das Abklingen des dualen Problems zu
berücksichtigen. Die zeitliche Kopplung könnte dann z.B. nur so weit erfolgen, bis die
Gesamtenergie des dualen Problems auf ein bestimmtes vorher festzulegendes Maß abgeklungen
ist. Dieser Ansatz setzt jedoch eine relativ starke Dämpfung voraus. Für
moderat gedämpfte Probleme ist bei dieser Möglichkeit mit keiner wesentlichen Reduzierung
des numerischen Aufwands zu rechnen, da dann die Zeit, über die der Fehler
transportiert wird, weiterhin verhältnismäßig groß ist.
Weitere Möglichkeiten der Aufwandsreduktion, welche bisher nicht verfolgt wurden,
bestehen u.a. darin das duale Problem mit einem größeren Zeitschritt zu berechnen als
das primale, oder in der Kopplung des Fehlerschätzers mit Modellreduktionsverfahren.
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