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KAPITEL 3. GEOMETRISCH LINEARE PROBLEME<br />
Eine ähnliche pragmatische Vorgehensweise mit beschränkter zeitlicher Kopplung des<br />
dualen und primalen Problems findet sich auch in Maute [70]. In beiden Fällen werden<br />
jedoch keine Voraussetzungen für die gemachten Vereinfachungen angegeben. Die reduzierte<br />
Lösung des dualen Problems wird jeweils nur mit der Minimierung des Aufwands<br />
begründet.<br />
Problematisch bei der Anwendung des Fehlerschätzers ist die Tatsache, dass hier anhand<br />
einer zeitlich lokalen Fehlerverteilung, das duale Problem wird nur im letzten<br />
Zeitschritt gelöst, auf den zeitlich globalen Fehler zum Zeitpunkt t n geschlossen werden<br />
soll. Dies ist nur dann sinnvoll, wenn eine quasi-stationäre Bewegung vorliegt, sich<br />
die grundlegende ’Bewegungsform’ also nicht mit der Zeit ändert. Die zeitliche Änderung<br />
der dominanten Bewegungsform z.B. infolge transienter Lasten kann somit mit<br />
dem dargestellten Fehlerindikator nicht erfasst werden.<br />
Trotzdem erzielt Neumann mit dem Fehlerindikator gute Ergebnisse bei der Netzadaption<br />
bei Problemen mit veränderlichen Lasten. Dies lässt sich d<strong>am</strong>it begründen, dass<br />
Neumann den Fehlerindikator, welcher eigentlich den Fehler zum Zeitpunkt t n infolge<br />
der räumlichen Diskretisierung im Intervall [0,t n ] abschätzt, im ortsadaptiven Verfahren<br />
als Basis für die Netzverfeinerung zum Zeitpunkt t n verwendet. Da darüber hinaus<br />
ausschließlich eine Verfeinerung des Raumnetzes erfolgt, werden alle im Verlauf der Berechnung<br />
auftretenden Bewegungszustände ausreichend erfasst und das resultierende<br />
endgültige Netz besitzt eine für alle Zeitpunkte ausreichende Netzfeinheit.<br />
Die Schwächen des von Neumann vorgeschlagenen Fehlerschätzers und des darauf aufbauenden<br />
ortsadaptiven Verfahrens liegen also einerseits darin, dass für die Herleitung<br />
des Fehlerschätzers zu viele Annahmen getroffen werden, die bei allgemeinen Problemstellungen<br />
nicht gegeben sind, und andererseits werden im ortsadaptiven Verfahren<br />
zeitlich globale Fehlerschätzung und zeitlich lokale Netzveränderung miteinander gekoppelt.<br />
Aufgrund der eindeutigeren theoretischen Grundlage sind somit die im vorangegangen<br />
Abschnitt präsentierten Fehlerschätzer ohne zeitliche Kopplung des dualen und<br />
primalen Problems vorzuziehen.<br />
Eine weitere Möglichkeit zur Aufwandsreduzierung bei der Fehlerschätzung könnte<br />
bei gedämpften Problemen darin bestehen, das Abklingen des dualen Problems zu<br />
berücksichtigen. Die zeitliche Kopplung könnte dann z.B. nur so weit erfolgen, bis die<br />
Ges<strong>am</strong>tenergie des dualen Problems auf ein bestimmtes vorher festzulegendes Maß abgeklungen<br />
ist. Dieser Ansatz setzt jedoch eine relativ starke Dämpfung voraus. Für<br />
moderat gedämpfte Probleme ist bei dieser Möglichkeit mit keiner wesentlichen Reduzierung<br />
des numerischen Aufwands zu rechnen, da dann die Zeit, über die der Fehler<br />
transportiert wird, weiterhin verhältnismäßig groß ist.<br />
Weitere Möglichkeiten der Aufwandsreduktion, welche bisher nicht verfolgt wurden,<br />
bestehen u.a. darin das duale Problem mit einem größeren Zeitschritt zu berechnen als<br />
das primale, oder in der Kopplung des Fehlerschätzers mit Modellreduktionsverfahren.<br />
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