dh+1 - am IFM

3.8. FEHLERSCHÄTZUNG OHNE ZEITLICHE KOPPLUNG DES PRIMALEN UND DUALEN PROBLEMS
3.8.2 Weitere Ansätze zur Minimierung des Aufwands
Da die Anwendung der zielorientierten Fehlerschätzung mit Hilfe des vollständigen
dualen Problems auf praktische Aufgabenstellungen bisher am numerischen Aufwand
scheitert, war der wichtigste Aspekt für die Vereinfachungen der Fehlerschätzung im
vorangegangen Abschnitt die erhebliche Reduktion des Aufwands. Im Schrifttum finden
sich weitere Vorschläge zur Aufwandsminimierung, die nachfolgend kurz diskutiert
werden.
Ein Ansatz zur Minimierung des numerischen Aufwands für die Fehlerschätzung findet
sich in Neumann [73]. Hier wird die Wichtung mit dem räumlichen Diskretisierungsfehler
e z des dualen Problems verwendet. Neumann schlägt vor, das Rückwärtsproblem
nur für den jeweils letzten Zeitschritt zu lösen. Ziel der Herleitung ist ein Fehlerschätzer
für den mittleren räumlichen Diskretisierungsfehler im letzten Zeitschritt infolge der
gewählten räumlichen Diskretisierung im gesamten Berechnungsintervall [0,t n ]. Der
Fehlerschätzer beruht auf der ersten Fehleridentität (2.31), bei der die Wichtung mit
der Lösung z des dualen Problems verwendet wird. Zur Schätzung des mittleren Fehlers
in einer Punktverschiebung wird eine im letzten Zeitschritt konstante Einzellast
gemäß Gleichung (2.66) aufgebracht:
D(x,t) =
1
t n − t n−1
δ j (x i ) · ∆(t n−1 ,t n )
Zur Reduzierung des numerischen Aufwands und des Speicherbedarfs wird die Fehleridentität
nur im jeweils letzten Zeitschritt gelöst und zur Berücksichtigung des Fehlertransports
über die Zeit die Annahme getroffen, dass jeder vorangegangene Zeitschritt
den gleichen Anteil am Fehler hat. Bei Vernachlässigung der Dämpfungsterme und
der Beschränkung auf Probleme mit homogenen Anfangsbedingungen ergibt sich dann
folgender Fehlerindikator:
|E(u,u h )| =
t n
∫t n
(ρ 0 · ||ė S || L2 · ||ė z || L2 + ||e S || a · ||e z || a )dt (3.55)
t n − t n−1
t n−1
Für die Schätzung der einzelnen Fehleranteile in Gleichung (3.55) werden dann wiederum
die Standardfehlerschätzer aus den Abschnitten 3.4.1 und 3.4.2 verwendet. Die
Auswertung des Zeitintegrals in (3.55) erfolgt mit Hilfe einer 1-Punkt Gauß-Legendre
Integration, d.h. die Gleichung muss nur in der Mitte des Zeitschrittes ausgewertet
werden.
Es ist ersichtlich, dass bei der Anwendung des Fehlerschätzers bei Langzeitsimulationen
der geschätzte Fehler unbeschränkt ansteigt. Der Betrag des geschätzten Fehlers –
und damit auch die notwendige Netzdichte zur Einhaltung einer vorgegebenen Fehlertoleranz
– hängt also maßgeblich von der Berechnungsdauer ab. Dies ist jedoch gerade
bei gedämpften Problemen nicht der Fall, da hier der Transport des Fehlers über die
Zeit nur in einem beschränken Zeitraum stattfindet.
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