dh+1 - am IFM

3.8. FEHLERSCHÄTZUNG OHNE ZEITLICHE KOPPLUNG DES PRIMALEN UND DUALEN PROBLEMS
Um den Fehler in der Zielgröße mit Hilfe von globalen Normen abzuschätzen, wird auf
den Betrag der Zielfehlergröße übergegangen. Dies ergibt die Abschätzung:
|E(u,u h )| = |ρ 0 (ė z ,ė S ) B0 + a h (e z ,e S ) + ρ 0 (ż h ,ė S ) B0 + a h (z h ,e S )| tn (3.50)
≤
[|ρ 0 (ė z ,ė S ) B0 | + |a h (e z ,e S )| + |ρ 0 (ż h ,ė S ) B0 | + |a h (z h ,e S )|] tn
Um nun für die Fehlerschätzung die Standardschätzer anwenden zu können, kann auf
die einzelnen Anteile in (3.50) die Cauchy-Schwarz-Ungleichung angewendet werden.
Dies führt auf:
|E(u,u h )| ≤ ρ 0 ||ė S || L2 · ||ė z || L2 + ||e S || a,h · ||e z || a,h (3.51)
+ ρ 0 ||ė S || L2 · ||ż h || L2 + ||e S || a,h · ||z h || a,h
Hierbei ergibt sich jedoch eine starke Unschärfe bei der Abschätzung des Konsistenzanteils.
Numerische Untersuchungen von Diez, Morata & Huerta [26] zeigen, dass z h
und e S in der Regel nahezu orthogonal sind. Die Anwendung der Cauchy-Schwarz-
Ungleichung in Gleichung (3.51) führt dann zu einer extremen Überschätzung der
Konsistenzanteile des Fehlers. Die Adaption des Raumgitters erfolgt in [26] deshalb
nur auf der Basis der Schätzung des Approximationsfehlers. Bei der Reduzierung des
Approximationsfehlers mit Hilfe adaptiver Verfahren zeigte sich, dass dabei auch der
Konsistenzfehler reduziert werden konnte.
Bei der Fehlerschätzung wird aus diesem Grund nachfolgend der diskrete Anteil des
Konsistenzfehlers vernachlässigt. Dies führt auf den Fehlerindikator
|E(u,u h )| ≈ ρ 0 ||ė S || L2 · ||ė z || L2 + ||e S || a,h · ||e z || a,h , (3.52)
der dann noch in die Fehleranteile der einzelnen Elemente aufgespalten werden kann:
|E(u,u h )|
≈
∑n el
∑n el
ρ 0 ||ė S || L2 ,i · ||ė z || L2 ,i + ||e S || a,i · ||e z || a,i = e i (3.53)
i=1
i=1
Mit dem Fehlerindikator (3.53) liegt somit neben einer Abschätzung des Diskretisierungsfehlers
ohne Phasenfehler auch die Fehlerverteilung im gesamten Berechnungsgebiet
in Form der Fehlerindikatoren der einzelnen Elemente vor. Auf der Basis der
Fehlerverteilung kann dann innerhalb eines ortsadaptiven Verfahrens die Netzadaption
gesteuert werden.
Die räumlichen Diskretisierungsfehler des primalen und des dualen Problems werden
wiederum mit den Standardfehlerschätzern aus Abschnitt 3.4 abgeschätzt. Aufgrund
der Vernachlässigung eines Teils des Konsistenzfehlers ist bei der Verwendung des Fehlerschätzers
(3.52) tendenziell mit einer Unterschätzung des tatsächlichen Fehlers zu
rechnen, welche in vielen Fällen zumindest teilweise durch die Anwendung der Cauchy-
Schwarz-Ungleichung in (3.51) ausgeglichen wird.
Es sei angemerkt, dass als Folge der Anwendung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung in
Gleichung (3.52) eventuell vorhandene Orthogonalitäten zwischen dem primalen und
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