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KAPITEL 3. GEOMETRISCH LINEARE PROBLEME<br />
Für die Fehlerschätzung wird die Wichtung des Residuums mit den Geschwindigkeiten<br />
des dualen Problems nach Gleichung (3.39) mit einem homogenen dualen Problem verwendet.<br />
Dies hat u.a. den Vorteil, dass die zeitlichen Randterme keine Dämpfungsterme<br />
enthalten und sich die Fehlerschätzung dadurch vereinfacht.<br />
Für ein homogenes duales Problem lautet die modifizierte Fehleridentität (3.39):<br />
E(u,u h ) = [ρ 0 (ė S ,ż) B0 + a h (e S ,z)] 0<br />
+<br />
∫ t n<br />
R u (ż) + R k (z)dt (3.47)<br />
= [ρ 0 (ż,ė S ) B0 + a h (z,e S )] tn<br />
0<br />
An dieser Stelle sei noch einmal daran erinnert, dass für die Herleitung des dualen<br />
Problems und der Fehleridentitäten in Kapitel 2 dieser Arbeit die Differentialgleichung<br />
des räumlichen Diskretisierungsfehlers partiell in der Zeit integriert wurde. Die sich ergebenden<br />
zeitlichen Randterme zum Zeitpunkt t n wurden bisher nur zur Bestimmung<br />
der korrekten Anfangsbedingungen des dualen Problems verwendet. Die Auswertung<br />
des mit der dualen Lösung gewichteten Residuums war dann notwendig, da über den<br />
Zeitverlauf des räumlichen Diskretisierungsfehlers keine Information vorlag. Statt dessen<br />
wurde deshalb die rechte Seite der Differentialgleichung des Fehlers – das Residuum<br />
– zur Fehlerschätzung verwendet. Sobald jedoch, wie hier, eine Annahme bezüglich des<br />
Zeitverlaufs des Fehlers gemacht wird, ist die Auswertung des Zeitintegrals hinfällig.<br />
Die Fehlerschätzung kann dann direkt auf der Basis der Zustandsgrößen zum Zeitpunkt<br />
t n erfolgen. Für die Fehlerschätzung wird also nur noch die rechte Seite von<br />
(3.47) benötigt:<br />
E(u,u h ) = Q(u) − Q(u h ) = [ρ 0 (ż,ė S ) B0 + a h (z,e S )] tn (3.48)<br />
Hieraus folgt auch direkt, dass einerseits nicht mehr die primale Lösung über den ges<strong>am</strong>ten<br />
Berechnungszeitraum vorgehalten werden muss und andererseits für das duale<br />
Problem nur noch die Anfangsbedingungen bestimmt werden müssen. Das hier gewählte<br />
Vorgehen führt folglich zu einem signifikant geringerem numerischem Aufwand gegenüber<br />
der Fehlerschätzung mit dem vollständigen Rückwärtsproblem.<br />
Zur weiteren Reduktion des Aufwands soll die duale Lösung auf dem Raumnetz der<br />
primalen Lösung bestimmt werden. Dafür wird die Einflussfunktion z(x,t n ) in die<br />
diskrete Lösung z h (x,t n ) ∈ W h und den Diskretisierungsfehler e z (x,t n ) = z(x,t n ) −<br />
z h (x,t n ) zerlegt. Hiermit lässt sich Gleichung (3.48) in die folgenden Anteile aufspalten:<br />
E(u,u h ) = [ρ 0 (ė z ,ė S ) B0 + a h (e z ,e S ) + ρ 0 (ż h ,ė S ) B0 + a h (z h ,e S )<br />
} {{ }<br />
] tn (3.49)<br />
diskr. Teil des Konsistenzfehlers<br />
Bei Berücksichtigung der Ausführungen in Abschnitt 3.6 erkennt man, dass der mit<br />
der diskreten Lösung z h gewichtete Teil des räumlichen Diskretisierungsfehlers dabei<br />
gerade der diskrete Anteil e k,h ∈ W h des Konsistenzfehlers ist.<br />
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