dh+1 - am IFM

KAPITEL 3. GEOMETRISCH LINEARE PROBLEME
Für die Fehlerschätzung wird die Wichtung des Residuums mit den Geschwindigkeiten
des dualen Problems nach Gleichung (3.39) mit einem homogenen dualen Problem verwendet.
Dies hat u.a. den Vorteil, dass die zeitlichen Randterme keine Dämpfungsterme
enthalten und sich die Fehlerschätzung dadurch vereinfacht.
Für ein homogenes duales Problem lautet die modifizierte Fehleridentität (3.39):
E(u,u h ) = [ρ 0 (ė S ,ż) B0 + a h (e S ,z)] 0
+
∫ t n
R u (ż) + R k (z)dt (3.47)
= [ρ 0 (ż,ė S ) B0 + a h (z,e S )] tn
0
An dieser Stelle sei noch einmal daran erinnert, dass für die Herleitung des dualen
Problems und der Fehleridentitäten in Kapitel 2 dieser Arbeit die Differentialgleichung
des räumlichen Diskretisierungsfehlers partiell in der Zeit integriert wurde. Die sich ergebenden
zeitlichen Randterme zum Zeitpunkt t n wurden bisher nur zur Bestimmung
der korrekten Anfangsbedingungen des dualen Problems verwendet. Die Auswertung
des mit der dualen Lösung gewichteten Residuums war dann notwendig, da über den
Zeitverlauf des räumlichen Diskretisierungsfehlers keine Information vorlag. Statt dessen
wurde deshalb die rechte Seite der Differentialgleichung des Fehlers – das Residuum
– zur Fehlerschätzung verwendet. Sobald jedoch, wie hier, eine Annahme bezüglich des
Zeitverlaufs des Fehlers gemacht wird, ist die Auswertung des Zeitintegrals hinfällig.
Die Fehlerschätzung kann dann direkt auf der Basis der Zustandsgrößen zum Zeitpunkt
t n erfolgen. Für die Fehlerschätzung wird also nur noch die rechte Seite von
(3.47) benötigt:
E(u,u h ) = Q(u) − Q(u h ) = [ρ 0 (ż,ė S ) B0 + a h (z,e S )] tn (3.48)
Hieraus folgt auch direkt, dass einerseits nicht mehr die primale Lösung über den gesamten
Berechnungszeitraum vorgehalten werden muss und andererseits für das duale
Problem nur noch die Anfangsbedingungen bestimmt werden müssen. Das hier gewählte
Vorgehen führt folglich zu einem signifikant geringerem numerischem Aufwand gegenüber
der Fehlerschätzung mit dem vollständigen Rückwärtsproblem.
Zur weiteren Reduktion des Aufwands soll die duale Lösung auf dem Raumnetz der
primalen Lösung bestimmt werden. Dafür wird die Einflussfunktion z(x,t n ) in die
diskrete Lösung z h (x,t n ) ∈ W h und den Diskretisierungsfehler e z (x,t n ) = z(x,t n ) −
z h (x,t n ) zerlegt. Hiermit lässt sich Gleichung (3.48) in die folgenden Anteile aufspalten:
E(u,u h ) = [ρ 0 (ė z ,ė S ) B0 + a h (e z ,e S ) + ρ 0 (ż h ,ė S ) B0 + a h (z h ,e S )
} {{ }
] tn (3.49)
diskr. Teil des Konsistenzfehlers
Bei Berücksichtigung der Ausführungen in Abschnitt 3.6 erkennt man, dass der mit
der diskreten Lösung z h gewichtete Teil des räumlichen Diskretisierungsfehlers dabei
gerade der diskrete Anteil e k,h ∈ W h des Konsistenzfehlers ist.
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