Eine multi-material arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) - am IFM
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Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005<br />
<strong>Eine</strong> <strong>multi</strong>-<strong>material</strong> <strong>arbitrary</strong> <strong>Lagrangian</strong>-<strong>Eulerian</strong><br />
(<strong>ALE</strong>) Methode für die Simulation des<br />
Deformationsverhaltens partikulärer Materialien<br />
bei Finiten Deformationen<br />
D. Freßmann<br />
Discipline of Civil Engineering<br />
The University of Newcastle, NSW<br />
Australia<br />
P. Wriggers<br />
Institut für Baumechanik und<br />
Numerische Mechanik<br />
Universität Hannover<br />
DFG-Gemeinschaftsprojekt Schaumstoffe<br />
Workshop 15./16. September 2005<br />
„Simulation von Schaumstoffen<br />
mit stark nichlinearem Verhalten“<br />
S. 1
Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005<br />
Gliederung<br />
Einleitung/Motivation<br />
Kontinuumsmechanische Grundgleichungen der <strong>ALE</strong> Methode<br />
Kinematik, Bilanzgleichungen, konstitutive Gleichungen<br />
Globale Lösungsstrategie des gekoppelten <strong>ALE</strong> Problems<br />
Berücksichtigung der <strong>multi</strong>plen Materialeigenschaften<br />
Lösen des Transport-/Advektionsproblems<br />
Transport elementbezogener Größen<br />
Transport <strong>material</strong>bezogener Größen<br />
Zus<strong>am</strong>menfassung des globalen Lösungsverfahrens<br />
Numerische Beispiele<br />
Ausblick<br />
S. 2
Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005<br />
Motivation und Problemstellung<br />
Größenskalen des partikulären Schaumstoffes Neopolen<br />
Makroskale<br />
Bauteil<br />
Mesoskale<br />
lose Schüttung einzelner<br />
EPP-Partikel<br />
Mikroskale<br />
geschlossenzelliger<br />
Polypropylen-Schaum<br />
(EPP)<br />
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Advektionsproblem Beispiele Ausblick<br />
S. 3
Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005<br />
Motivation und Problemstellung<br />
Herstellungsprozess eines partikulären<br />
Schaumstoff<strong>material</strong>s<br />
• Ausgangssituation: lose Partikelschüttung in<br />
repräsentativem Volumen Element (RVE)<br />
• Zus<strong>am</strong>menpressen + Verkleben der Partikel<br />
führt auf extreme Materialdeformationen<br />
Kompaktion,<br />
Erwärmen +<br />
Verkleben<br />
Multi-Material<br />
<strong>ALE</strong> Methode<br />
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Advektionsproblem Beispiele Ausblick<br />
S. 4
Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005<br />
Arbitrary <strong>Lagrangian</strong>-<strong>Eulerian</strong> (<strong>ALE</strong>) Methode<br />
Allgemein<br />
entkoppelte Material- und Netzbewegung<br />
Berücksichtigung von Flußeffekten<br />
Materialgeschwindigkeit<br />
Netzgeschwindigkeit<br />
Single-Material <strong>ALE</strong> Methode (S<strong>ALE</strong>)<br />
explizite Auflösung der Materialgrenzen<br />
Multi-Material <strong>ALE</strong> Methode (MM<strong>ALE</strong>)<br />
freie Materialgrenzen; unabhängig<br />
von FE Diskretisierung<br />
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Advektionsproblem Beispiele Ausblick<br />
S. 5
Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005<br />
Literaturübersicht<br />
Generelle (S)<strong>ALE</strong> Methode (Auswahl)<br />
• Liu, W.K.; Belytschko, T. and Chang, H.: An Arbitrary <strong>Lagrangian</strong>-<strong>Eulerian</strong><br />
Finite Element Method for Path-Dependent Materials, CMAME, 1986<br />
• Benson, D.J.: An efficient, accurate, simple <strong>ALE</strong> Method for Nonlinear<br />
Finite Element Progr<strong>am</strong>s, CMAME, 1989<br />
• Rodriguez-Ferran, A.; Perez-Foguet, A. and Huerta, A.: Arbitrary<br />
<strong>Lagrangian</strong>-<strong>Eulerian</strong> (<strong>ALE</strong>) Formulation for Hyperelastoplasticity, IJNME,<br />
2002<br />
• etc. …<br />
Multi-Material <strong>ALE</strong> Methode<br />
• Benson, D.J.: Computational Methods in <strong>Lagrangian</strong> and <strong>Eulerian</strong><br />
Hydrocodes, CMAME, 1992<br />
• Benson, D.J.: An implicit Multi-Material <strong>Eulerian</strong> Formulation, IJNME,<br />
2000<br />
• Peery, J.S. and Carroll, D.E.: Multi-Material <strong>ALE</strong> Methods in unstructured<br />
Grids, CMAME, 2000<br />
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Advektionsproblem Beispiele Ausblick<br />
S. 6
Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005<br />
Kontinuumsmechanische Basis: (<strong>ALE</strong>)-Kinematik<br />
unabhängige Referenzkonfiguration χ<br />
(t)<br />
Verschiebungen<br />
Deformationsgradienten<br />
ges<strong>am</strong>t<br />
referentiell<br />
relativ<br />
Deformationstensoren<br />
rechter Cauchy-Green Tensor<br />
linker Cauchy-Green Tensor<br />
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick<br />
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Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005<br />
Kontinuumsmechanische Basis: Bilanzgleichungen<br />
materielle Zeitableitung<br />
explizite Zeitabhängigkeit der<br />
Referenzkonfiguration<br />
Bilanzsätze (starke Form)<br />
Massenbilanz<br />
Impulsbilanz<br />
allgemeine starke<br />
Form<br />
mit<br />
Variationsformulierung (schwache Form)<br />
mit<br />
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick<br />
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Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005<br />
Kontinuumsmechanische Basis: Materialgleichungen<br />
hyperelastische Materialmodellierung<br />
Verzerrungsenergiefunktion W<br />
z.B. Neo-Hooke Material<br />
Informationen über “Ges<strong>am</strong>tdeformation” notwendig !<br />
Inkrementelle Betrachtung der Deformation (Rodriguez-Ferran et al. ‘02)<br />
Geschichtsvariablen<br />
bzw.<br />
push-forward mit relativem Def.-Grad.<br />
direkte Lösung<br />
bzw.<br />
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick<br />
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Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005<br />
Globale <strong>ALE</strong> Lösungsstrategie<br />
Ziel:<br />
Lösung des gekoppelten <strong>ALE</strong> Problems<br />
v - Materialgeschwindigkeit<br />
c - konvektive Geschwindigkeit<br />
simultane Lösung sehr aufwendig !<br />
Lösung mit „Operator-Split“ Methode (Chorin et al. ‘78, Benson ‘89)<br />
Split des gekoppelten Problems in 2 Teilprobleme<br />
1. Lagrange‘scher Schritt:<br />
• numerisches Lösen des “physikalischen Problems”<br />
2. Advektionsschritt:<br />
• Transport der Lösung mit konvektiver Geschwindigkeit c<br />
• Lösen der homogenen Advektionsgleichung<br />
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick<br />
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Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005<br />
1. Schritt: Lagrange’sche Berechnungsphase<br />
Numerisches Lösen des „physikalischen“ Problems<br />
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick<br />
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Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005<br />
1. Schritt: Lagrange’sche Phase<br />
Finite-Element-Diskretisierung<br />
reduzierte Integration der FE Gleichungen<br />
(Belytschko et al. ’84)<br />
• Auswertung der FE-Gleichung im Elementmittelpunkt<br />
• konstanter Verzerrungszustand im Element<br />
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick<br />
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Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005<br />
1. Schritt: Lagrange’sche Phase (2)<br />
Problem: Auflösen der <strong>multi</strong>plen Materialeigenschaften<br />
auf Elementebene<br />
Volume-of-Fluid (VOF) Methode (Hirt & Nichols ’81)<br />
Volumen-Fraktion f k für jede Materialphase k<br />
Phasenweise Berechnung <strong>material</strong>abhängiger Größen<br />
Volumen-gemittelte Elementvariablen<br />
Elementsteifigkeitsmatrix und Residuum<br />
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick<br />
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Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005<br />
2. Schritt: <strong>ALE</strong>-Advektionsphase<br />
Lösen des Transportproblems<br />
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick<br />
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Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005<br />
2. Schritt: <strong>ALE</strong>-Advektionsphase<br />
Finite-Volumen basierte Advektionsmethode<br />
Imkompressibler, advektiver Fluß<br />
linearer Fluß:<br />
AB:<br />
Integration über Elementgebiet Ω e<br />
Diskrete Finite-Volumen Advektion<br />
explizite Zeitintegration<br />
(Euler-Vorwärts)<br />
Courant Kriterium<br />
diskrete Advektion<br />
Berechnung des numerischen Flußwertes <br />
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick<br />
S. 15
Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005<br />
2. Schritt: <strong>ALE</strong>-Advektionsphase<br />
I. elementbezogene Variablen: z.B. Verzerrungen, Deformationen<br />
diskreter Flußwert<br />
Volumenflußrate<br />
lineare Rekonstruktion<br />
Verfahren 2. Ordnung („im Raum“)<br />
Total Variation Diminishing Konzept (Harten ‘83)<br />
Einführung von Slope-Limitern<br />
Steigungslimitierung - Vermeidung von<br />
over- und undershots<br />
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick<br />
S. 16
Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005<br />
2. Schritt: <strong>ALE</strong>-Advektionsphase (2)<br />
1D-Advektion einer Rechteckwelle (C r<br />
= 0.3/0.7, 30 Elemente)<br />
2D-Advektion einer kreisförmigen Diskontinuität (C r<br />
= 0.3/0.7,<br />
30x30 Elemente)<br />
undeformiertes Netz<br />
deformiertes Netz<br />
undeformiertes Netz<br />
deformiertes Netz<br />
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Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005<br />
2. Schritt: <strong>ALE</strong>-Advektionsphase (3)<br />
II. <strong>material</strong>bezogene Variablen: z.B. Dichte, Volumenfraktion<br />
Materialbezogene Advektion<br />
“exakte” Bestimmung der Advektionsvolumina<br />
erforderlich<br />
Piecewise Linear Interface Calculation (PLIC)<br />
Beschreibung der Materialgrenze Γ<br />
Oberflächen-Normale<br />
Oberflächen-Par<strong>am</strong>eter<br />
• Bestimmung der Flächennormalen<br />
• Bestimmung des Flächenpar<strong>am</strong>eters<br />
anhand der Volumenfraktionen f k<br />
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick<br />
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Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005<br />
2. Schritt: <strong>ALE</strong>-Advektionsphase (4)<br />
IIa) Bestimmung der Flächennormalen<br />
räumliche Gradientenbildung (Youngs ’82)<br />
2D Approximation durch FD-Verfahren<br />
mit gewichteten Differenzen<br />
3x3 Elementpatch<br />
kreisförmige Rekonstruktion<br />
quaderförmige Rekonstruktion<br />
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick<br />
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Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005<br />
2. Schritt: <strong>ALE</strong>-Advektionsphase (5)<br />
IIb) Bestimmung des Flächenpar<strong>am</strong>eters d<br />
Minimierung des Fehlers im Materialvolumen<br />
(Rider & Kothe ’98)<br />
Schnittvolumen in Abhängigkeit<br />
von d k (A tr<br />
bzw. V tr<br />
)<br />
2D<br />
exaktes Volumen aus Volumenfraktion<br />
• eindimensionales, iteratives<br />
Minimierungsproblem in d k<br />
• gilt für beliebige Elementgeometrien<br />
• erfordert Berechnung der Schnittvolumina<br />
A tr<br />
bzw. V tr<br />
3D<br />
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick<br />
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Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005<br />
2. Schritt: <strong>ALE</strong>-Advektionsphase (6)<br />
Kreisförmige Advektion einer Scheibe (C r<br />
= 0.3/0.7, 30x30 Elemente)<br />
Kreisförmige Advektion einer Kugel (C r<br />
≈ 0.5, 30x30x30 Elemente)<br />
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick<br />
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Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005<br />
Globaler <strong>ALE</strong> Algorithmus (vereinfachte Darstellung)<br />
1. Lagrange’sche Berechnungsphase<br />
a. Inkrementierung des Zeitschrittes<br />
b. Berechnung der “physikalischen” Materialdeformationen<br />
2. Netzglättungsphase<br />
a. Netzglättung und Berechnung der konvektiven<br />
Verschiebungsinkremente<br />
3. Advektions-/Transportphase<br />
a. Transport des Materials (Volumenfraktion f k<br />
)<br />
b. Transport der <strong>material</strong>abhängigen Größen (Dichte ρ)<br />
c. Transport der elementabhängigen Größen (Deformationsgradient F)<br />
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick<br />
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Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005<br />
Beispiel: Kompression einer 10-Partikel Probe (2D)<br />
Numerisches Modell<br />
• 10 Partikel P in Matrix Material M<br />
• 40x40 finite Elemente<br />
• Verschiebungs-RB, durch Makro-<br />
Deformationsgradient<br />
mehraxiale<br />
Kompression<br />
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick<br />
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Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005<br />
Ausblick<br />
VOF-Elementformulierung<br />
• verbesserte Mischungstheorien<br />
• <strong>material</strong>-bezogene Speicherung der Deformationen<br />
• void-collapse Mechanismen<br />
Kopplung der Lagrange’schen und der Advektionsphase<br />
• Gleichgewicht auf dem neuen Netz<br />
Erweiterung der MM<strong>ALE</strong> Methode auf 3D<br />
• Verbesserung des Stabilisierungskonzeptes der<br />
reduzierten Integrationsprozedur<br />
Einbindung von thermischen Effekten /<br />
Be- und Entlastungzyklen der Probe<br />
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick<br />
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