Lineare Algebra Kapitel 1.6 Aufgaben 1. Welche der ... - gxy.ch

Lineare Algebra Kapitel 1.6 Aufgaben
1. Welche der folgenden Matrizen sind Elementarmatrizen
( )
( )
1 0
−5 1
(a)
(b)
−5 1
1 0
(c)
⎛ ⎞
0 0 1
⎛ ⎞
1 1 0
(d) ⎝0 1 0⎠
(e) ⎝0 0 1⎠
(f)
1 0 0
0 0 0
( ) 1 0
0 √ 3
⎛ ⎞
1 0 0
⎝0 1 9⎠
0 0 1
2. Man bestimme eine Zeilenoperation, welche die gegebene Elementarmatrix in eine
Einheitsmatrix umwandelt.
⎛ ⎞
⎛ ⎞
( )
0 0 0 1
1 0 0
1 0
(a)
(b) ⎝0 1 0⎠
(c) ⎜0 1 0 0
⎟
−3 1
⎝0 0 1 0⎠
0 0 3
1 0 0 0
3. Gegeben seien die Matrizen
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
3 4 1 8 1 5 3 4 1
A = ⎝2 −7 −1⎠ B = ⎝2 −7 −1⎠ C = ⎝2 −7 −1⎠
8 1 5 3 4 1 2 −7 3
Man bestimme Elementarmatrizen E 1 , E 2 , E 3 und E 4 mit
(a) E 1 A = B (b) E 2 B = A (c) E 3 A = C (d) E 4 C = A
4. Berechne die Inverse der gegebenen Matrix oder zeige, dass die Matrix nicht invertierbar
ist. Verwende das Verfahren aus der Theorie.
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
0 1 0
−3 4 4
−1 −2 2
(a) ⎝ 0 4 −1⎠
(b) ⎝ 2 −3 0⎠
(c) ⎝ 2 4 −3⎠
−1 2 0
−1 1 4
−1 −1 3
5. Gegeben ist
A =
( ) 3 1
−4 −1
(a) Bestimme Elementarmatrizen E 1 , E 2 , ... so dass . . . E 2 E 1 A = I.
(b) Stelle A −1 als Produkt von Elementarmatrizen dar.
(c) Stelle A als Produkt von Elementarmatrizen dar.
6. Zeige, dass die Matrix
nicht invertierbar ist.
⎛ ⎞
0 a 0 0 0
b 0 c 0 0
A =
⎜0 d 0 e 0
⎟
⎝0 0 f 0 g⎠
0 0 0 0 h

Lineare Algebra Kapitel 1.6 Lösungen+
1. (a) ja (b) nein (c) ja (d) ja (e) nein (f) ja
2. (a) Das (−3)-fache von Zeile 1 wird zur Zeile 2 addiert.
(b) Zeile 3 wird mit 1/3 multipliziert.
(c) Vertauschen von Zeilen 1 und 4.
⎛ ⎞
0 0 1
3. (a) E 1 = ⎝0 1 0⎠
1 0 0
⎛ ⎞
0 0 1
(b) E 2 = ⎝0 1 0⎠
1 0 0
⎛ ⎞
1 0 0
(c) E 3 = ⎝ 0 1 0⎠
−2 0 1
⎛ ⎞
1 0 0
(d) E 4 = ⎝0 1 0⎠
2 0 1
4. (a) 0 1 0 1 0 0
0 4 −1 0 1 0
−1 2 0 0 0 1
Tausche die Zeilen 0 und 2.
−1 2 0 0 0 1
0 4 −1 0 1 0
0 1 0 1 0 0
Addiere das −1-fache von Zeile 2 zum 4-fachen von Zeile 3:
−1 2 0 0 0 1
0 4 −1 0 1 0
0 0 1 4 −1 0
Addiere die Zeile 3 zur Zeile 2:
−1 2 0 0 0 1
0 −4 0 −4 0 0
0 0 1 4 −1 0
Addiere die Zeile 2 zum 2-fachen von Zeile 1:
2 0 0 4 0 −2
0 −4 0 −4 0 0
0 0 1 4 −1 0
Multipliziere Zeile 2 mit −1/4:
2 0 0 4 0 −2
0 1 0 1 0 0
0 0 1 4 −1 0
Multipliziere Zeile 1 mit 1/2:
1 0 0 2 0 −1
0 1 0 1 0 0
0 0 1 4 −1 0
1

(b) −3 4 4 1 0 0
2 −3 0 0 1 0
−1 1 4 0 0 1
Addiere das 2-fache von Zeile 1 zum 3-fachen von Zeile 2:
−3 4 4 1 0 0
0 1 −8 −2 −3 0
−1 1 4 0 0 1
Addiere das −1-fache von Zeile 1 zum 3-fachen von Zeile 3:
−3 4 4 1 0 0
0 1 −8 −2 −3 0
0 −1 8 −1 0 3
Addiere die Zeile 2 zur Zeile 3:
−3 4 4 1 0 0
0 1 −8 −2 −3 0
0 0 0 3 3 −3
Wir können aufhören, da die Matrix wegen der Nullzeile nicht invertierbar ist.
(c) −1 −2 2 1 0 0
2 4 −3 0 1 0
−1 −1 3 0 0 1
Addiere das 2-fache von Zeile 1 zur Zeile 2:
−1 −2 2 1 0 0
0 0 −1 −2 −1 0
−1 −1 3 0 0 1
Addiere das −1-fache von Zeile 1 zur Zeile 3:
−1 −2 2 1 0 0
0 0 −1 −2 −1 0
0 1 1 −1 0 1
Tausche die Zeilen 1 und 2.
−1 −2 2 1 0 0
0 1 1 −1 0 1
0 0 −1 −2 −1 0
Addiere die Zeile 3 zur Zeile 2:
−1 −2 2 1 0 0
0 −1 0 3 1 −1
0 0 −1 −2 −1 0
Addiere das 2-fache von Zeile 3 zur Zeile 1:
1 2 0 3 2 0
0 −1 0 3 1 −1
0 0 −1 −2 −1 0
Multipliziere Zeile 3 mit −1:
1 2 0 3 2 0
0 −1 0 3 1 −1
0 0 1 2 1 0
Addiere das 2-fache von Zeile 2 zur Zeile 1:
−1 0 0 −9 −4 2
0 −1 0 3 1 −1
0 0 1 2 1 0
2

Multipliziere Zeile 2 mit −1:
−1 0 0 −9 −4 2
0 1 0 −3 −1 1
0 0 1 2 1 0
Multipliziere Zeile 1 mit −1:
1 0 0 9 4 −2
0 1 0 −3 −1 1
0 0 1 2 1 0
5. (a) Die ersten beiden Kolonnen enhalten die elementaren Umformungen an A
bzw. I. Die dritte Kolonne enthält die jeweilige Elementarmatrix E i .
3 1 1 0
−4 −1 0 1
Addiere das 4/3-fache von Zeile 1 zur Zeile 2:
3 1 1 0 1 0
0 1/3 4/3 1 4/3 1
Addiere das −3-fache von Zeile 2 zur Zeile 1:
3 0 −3 −3 1 −3
0 1/3 4/3 1 0 1
Multipliziere Zeile 2 mit 3:
3 0 3 3 1 0
0 1 4 3 0 3
Multipliziere Zeile 1 mit 1/3:
1 0 −1 −1 −1/3 0
0 1 4 3 0 1
Also ist
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1/3 0 1 0 1 −3 1 0 3 1 1 0
=
0 1 0 3 0 1 4/3 1 −4 −1 0 1
} {{ }} {{ }} {{ }} {{ }} {{ } } {{ }
E 4 E 2 E 1 A
I
E 3
(b) Multiplizieren wir obige Gleichung von rechts mit A −1 , so erhalten wir:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1/3 0 1 0 1 −3 1 0 1 0
= A −1
0 1 0 3 0 1 4/3 1 0 1
} {{ }} {{ }} {{ }} {{ }} {{ }
E 4 E 2 E 1
E 3
A·A −1 =I
(c) Multiplizieren wir die Gleichung von (a) von rechts her sukzessive mit den
Inversen E4 −1 , E3 −1 , ..., so erhalten wir:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 1 1 0 1 3 1 0 3 0
=
−4 −1 −4/3 1 0 1 0 1/3 0 1
} {{ } } {{ }} {{ }} {{ }} {{ }
A
E −1
1 E −1
2 E −1
3 E −1
4
3

6. Wir bringen die Matrix A auf Zeilenstufenform:
• Vertauschen ⎛ der⎞Zeilen 1 und 2:
b 0 c 0 0
0 a 0 0 0
⎜0 d 0 e 0
⎟
⎝0 0 f 0 g⎠
0 0 0 h 0
• Addiere das −d/a-fache der zweiten Zeile zur dritten Zeile:
⎛ ⎞
b 0 c 0 0
0 a 0 0 0
⎜0 0 0 e 0
⎟
⎝0 0 f 0 g⎠
0 0 0 h 0
• Vertausche ⎛ die dritte ⎞ und vierte Zeile:
b 0 c 0 0
0 a 0 0 0
⎜0 0 f 0 g
⎟
⎝0 0 0 e 0⎠
0 0 0 h 0
• Addiere das −h/e-fache von Zeile 4 zur Zeile 5:
⎛ ⎞
b 0 c 0 0
0 a 0 0 0
⎜0 0 f 0 g
⎟
⎝0 0 0 e 0⎠
0 0 0 0 0
Somit ist die reduzierte Zeilenstufenform von A nicht I 5 und gemäss Satz 1.6.1.3 ist
A nicht invertierbar.
4