¨Ubungen NachrichtenübertragungII WS 2007/2008

Übungen
NachrichtenübertragungII
WS2007/2008
Mark Petermann, Peter Klenner
NW1, Room N1350, Tel.: 0421/218-2941, 4282
E-mail: petermann/klenner@ant.uni-bremen.de
Universität Bremen, FB1
Institut für Telekommunikation und Hochfrequenztechnik
Arbeitsbereich Nachrichtentechnik
Prof. Dr.-Ing. K. D. Kammeyer
Postfach 33 04 40
D–28334 Bremen
WWW-Server: http://www.ant.uni-bremen.de
Version 2. November 2007

I WS 2007/2008 “Nachrichtenübertragung II” – Übungen
Inhaltsverzeichnis
1 Entzerrung / Equalization 1
Aufgabe 1 (eq04): Linearer Entzerrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Aufgabe 2 (eq05): Linearer Entzerrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Aufgabe 3 (eq12): Linearer Entzerrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Aufgabe 4 (eq08): Entzerrer mit Einfach- und Doppelabtastung . . . . . . . 4
Aufgabe 5 (eq01): Entscheidungsrückgekoppelter Entzerrer . . . . . . . . . 6
Aufgabe 6 (eq02): Decision Feedback Equalizer . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Viterbi 8
Aufgabe 7 (vit05): Trellis-Diagramm für Kanal 3. Ordnung . . . . . . . . . . 8
Aufgabe 8 (vit01): Viterbi für QPSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Aufgabe 9 (vit04): Viterbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Aufgabe 10 (vit10): Viterbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Aufgabe 11 (2007-10-4): Viterbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Misc. 13
Aufgabe 12 (2007-03-ber): Bitfehlerwahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . 13
Aufgabe 13 (2007-10-3): Bitfehlerrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Aufgabe 14 (2007-03-mobrad): Mobilfunkkanal . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Aufgabe 15 (2007-10-mobrad): Mobilfunkkanal . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Aufgabe 16 (misc03): MAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 OFDM 19
Aufgabe 17 (ofdm03): OFDM-Fehlerwahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . 19
Aufgabe 18 (ofdm04): OFDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Aufgabe 19 (ofdm06): OFDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Aufgabe 20 (ofdm05): OFDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Aufgabe 21 (2007-10-6): OFDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

“Nachrichtenübertragung II” – Übungen WS 2007/2008 II
Konventionen und Nomenklatur
• Alle Referenzen auf Textstellen (Kapitel- und Seitennummern) beziehen sich auf das
Buch: K.-D. Kammeyer: “Nachrichtenübertragung”, 2. Auflage, B. G. Teubner
Stuttgart, 1996, ISBN: 3-519-16142-7; Gleichungsreferenzen der Form (1.1.1) verweisen
ebenfalls auf dieses Büch, solche der Form (1) auf die Lösungen zu den Übungsaufgaben.
• Die Funktionen “rect (·)” und “tri (·)” sind definiert analog zu:
N. Fliege: “Systemtheorie”, 1. Auflage, B. G. Teubner Stuttgart, 1991, ISBN: 3-519-
06140-6.
Daher hat “rect (t/T)” die zeitliche Ausdehnung T, wogegen “tri (t/T)” für ein
Zeitintervall der Länge 2T ungleich null ist.
• Die Buchstaben f und F stehen für Frequenzen (in Hertz), ω und Ω dagegen für
Kreisfrequenzen (in rad/s). Auch ohne ausdrückliche Erwähnung gelten prinzipiell die
Zusammenhänge ω = 2πf bzw. Ω = 2πF (auch für die entsprechenden Größen mit
Index etc.).
• “δ 0 (t)” bezeichnet den kontinuierlichen(!) Dirac-Impuls, wogegen “δ(i)” für die diskrete
(Einheits-)Impulsfolge steht.
• Sogenannte “ideale” Tief-, Band- und Hochpaßfilter G(jω) nehmen im jeweiligen
Durchlaßbereich den Betrag eins, im Sperrbereich den Wert null an.
• Erregt eine diskrete Datenfolge d(i) der Rate 1/T ein kontinuierliches Filter mit der
Impulsantwort g(t), so ist dies zu verstehen als
x(t) =
[
T
∞∑
i=−∞
d(i)δ 0 (t − iT)
]
∗ g(t) = T
∞∑
i=−∞
d(i) · g(t − iT).
Abkürzungen
AKF Autokorrelationsfunktion, -folge ISI Intersymbol-Interferenz
BB Bandbreite; Basisband KKF Kreuzkorrelationsfunktion, -folge
BP Bandpaß NF Niederfrequenz
DPCM Differentielle PCM PCM Pulse Code “Modulation”
F{·} Fourier-Transformation PR Partial Response
H{·} Hilbert-Transformation S/N=SNR Signal-to-Noise ratio (Signal-Stör-Verh.)
HP Hochpaß TP Tiefpaß

III WS 2007/2008 “Nachrichtenübertragung II” – Übungen
Verfügbarkeit über Internet
PDF (oder PS) -Dateien der Aufgaben können mit Hilfe eines WWW-Browsers von
http://www.ant.uni-bremen.de
erhalten werden.

1 WS 2007/2008 “Nachrichtenübertragung II” – Übungen
1 Entzerrung / Equalization
Aufgabe 1 (eq04):
Linearer Entzerrer
Klausur “Nachrichtentechnik” (TUHH, neue DPO) vom 07.04.04 (Aufgabe 4)
Das zeitdiskrete Symboltakt Ersatzsystem einer digitalen Übertragungsstrecke, bestehend
aus Sendefilter, physikalischem Kanal und Empfangsfilter, ist durch die Impulsantwort
charakterisiert.
f(i) = {1, 0.5, 0.5 }
(a) Wie hoch ist das S/I-Verhältnis (S: Signalleistung; I:mittlere ISI-Leistung; ISI:Intersymbolinterferenz)
des empfangenen Signals im rauschfreien Fall
(b) Um den Kanal zu entzerren, wird ein linearer Symboltakt-Entzerrer mit der Impulsantwort
e(i) = {0.6, −0.2, −0.1}
eingesetzt. Wie hoch ist nun das Verhältnis von Signal- zu mittlerer ISI-Leistung am
Entzerrer-Ausgang im rauschfreien Fall
(c) Schlagen Sie zur Entzerrung des Systems eine ebenfalls lineare Alternative vor, die die
ISI vollständig beseitigt. (keine Berechnung, Schlagwort reicht)

“Nachrichtenübertragung II” – Übungen WS 2007/2008 2
Aufgabe 2 (eq05):
Linearer Entzerrer
Klausur “Nachrichtentechnik” (Universität Bremen) vom 16.04.98
Gegeben ist das abgebildete Modell eines Datenübertragungssystems.
d(i)
Σδ 0 (t-iT)
R
Kanal
C
iT
d ~ (i)
Entzerrer
e(i)
d^(i)
Die Daten seien bipolar, d.h. d(i) ∈ {1, −1}. Der Kanal wird durch ein RC-Glied modelliert,
wobei die Zeitkonstante, die die Entladekurve bzw. die Impulsantwort des RC-Gliedes
bestimmt, τ = R · C = T beträgt, also identisch mit dem Symboltakt ist.
a) Bestimmen Sie die Impulsantwort h(i) des diskreten Symboltaktmodells des Kanals
(ohne Entzerrer). Der Einfachheit halber soll keine besondere Amplitudenskalierung berücksichtigt
werden; sie kann hier beispielsweise so gewählt werden, daß zum Zeitpunkt
t = 0 der (dimensionslose) Wert Eins erreicht wird.
b) Geben Sie das Pol-Nullstellen-Diagramm des Symboltaktmodells an.
Hinweis: a n z
◦−−−• f”ur |z| > a .
z − a
c) Berechnen Sie die relative vertikale Augenöffnung am Entzerrereingang (Hinweis:
geometrische Reihe).
d) Geben Sie die Koeffizienten eines linearen Entzerrers an, mit dem die Intersymbolinterferenz
vollständig unterdrückt werden kann.
(Hinweis: Bedenken Sie, daß die z-Transformierte in Aufgabenteil b) ein rekursives
System beschreibt.)

3 WS 2007/2008 “Nachrichtenübertragung II” – Übungen
Aufgabe 3 (eq12):
Linearer Entzerrer
Klausur “Nachrichtentechnik” (TUHH, neue DPO) vom 06.10.04 (Aufgabe 5)
In der unteren Abbildung ist das zeitdiskrete Ersatzmodell einer digitalen Funkübertragung
im äquivalenten Basisband dargestellt. Dabei werden QPSK modulierte Daten
d(i)∈{1 + j, 1 − j, −1 − j, −1 + j}.
über einen frequenzselektiven Kanal mit der Impuslantwort
h(i) = {1, 0.5 · e jπ/4 }
übertragen. Um den Kanal zu entzerren, ist dem Kanal ein linearer Entzerrer e(i) nachgeschaltet.
d(i) x(i) y(i)
h(i) e(i)
{
w(i)
(a) Welche Werte kann das durch den Kanal verzerrte Signal x(i) annehmen Skizzieren
Sie die möglichen Signalraumpunkte in der komplexen Ebene.
(b) Um die Auswirkung der ISI zu verringern, wird nun am Empfänger ein lineares Filter
mit der Impulsantwort
e(i) = {1, 0.5 · e j5π/4 }
verwendet. Bestimmen sie die Impulsantwort des Gesamtsystems w(i) = h(i) ∗ e(i).
(c) Welche Werte kann das entzerrte Signal y(i) annehmen Skizzieren Sie die möglichen
Signalraumpunkte in der komplexen Ebene.
(d) Berechnen und skizzieren Sie den quadratischen Betragsfrequenzgang des Gesamtsystems
w(i) = h(i) ∗ e(i) für 0 < Ω < π. Wie würde der Betragsfrequenzgang des
Gesamtsystems aussehen, wenn das lineare Filter den Kanal ideal entzerren würde

“Nachrichtenübertragung II” – Übungen WS 2007/2008 4
Aufgabe 4 (eq08):
Entzerrer mit Einfach- und Doppelabtastung
Klausur “Nachrichtentechnik” (Universität Bremen) vom 10.04.97
Gegeben ist die folgende Anordung eines Übertragungssystems.
LTI-Kanal
k T/w
d(i) ∈ {+1, −1}
✲ g(t) ✲ c(t) ✲ h(t) ✟ ✟❄ ✲
Bitrate 1/T
y(k)
Der Übertragungskanal weist die Impulsantwort c(t) = δ 0 (t) + δ 0 (t − T ) auf. Die Impulsantwort
von Sendefilter g(t) und Empfangsfilter h(t) zusammen ist ein Dreieckimpuls gemäß
2
untenstehendem Bild.
g(t) ∗ h(t)
✻
1
❅
❅
❅
❅
❅
❅
T 2T
a) Bestimmen Sie die Impulsantwort des Gesamtsystems
✲
t
f 2 (k) = g(t) ∗ h(t) ∗ c(t)| t=k
T
2
nach einer Abtastung am Empfangsfilterausgang im doppelten Bittakt (w = 2).
b) Das Empfangsignal y(k) wird durch einen Entzerrer mit Doppelabtastung (T/2-Entzerrer)
korrigiert. Die Impulsantwort des T/2-Entzerrers lautet
e T/2 = [0.75 − 0.25] T .
Geben Sie die Gesamtimpulsantwort am Ausgang des T/2-Entzerrers im doppelten
Bittakt an.
c) Am Entzerrerausgang wird nun eine Abtastung im Bittakt durchgeführt. Legen Sie
die Abtastphase so fest, daß aus der Gesamtimpulsantwort aus Aufgabenteil b) ein
verzerrungsfreies System hervorgeht (gerade oder ungerade k).
d) Als Alternative wird ein Symboltakt-Entzerrer eingesetzt (T-Entzerrer). Hier erfolgt
bereits am Ausgang des Empfangsfilters eine Abtastung im Bittakt 1/T (w = 1). Geben
Sie die Symboltakt-Impulsantwort des Übertragungssystems
f(i) = g(t) ∗ h(t) ∗ c(t)| t=iT

5 WS 2007/2008 “Nachrichtenübertragung II” – Übungen
an. Die Koeffizienten des T-Entzerrers lauten:
e T = [−0.0008 0.0026 0.6658 − 0.1998] T .
Berechnen Sie die Gesamtimpulsantwort am Ausgang des T-Entzerrers.

“Nachrichtenübertragung II” – Übungen WS 2007/2008 6
Aufgabe 5 (eq01):
Entscheidungsrückgekoppelter Entzerrer
Klausur “Nachrichtentechnik” (TUHH, neue DPO) vom 10.04.03 (Aufgabe 5)
Es soll eine BPSK-modulierte Datensequenz über einen Mehrwegekanal übertragen werden.
Die Impulsantwort des Kanals ist im Basisband-Symboltaktmodell gegeben mit
h(i) = {1 1.4}.
a) Entwerfen Sie einen DFE-Entzerrer (Entzerrer mit quantisierter Rückführung) 1.
Ordnung und geben Sie das Blockschaltbild an.
b) Am Eingang des Entzerrers liege das durch additives Rauschen gestörte Signal
y(i) = {−0.2 , 0.5 , −0.3 , 2.6 , 0 , −2} ; i = 1, · · · , 6
an. Zum Zeitpunkt i = 1 liegt das richtig entschiedene Symbol d(0) = −1 im Speicher
des DFE vor. Führen Sie eine Detektion der Daten mit dem in (a) entworfenen Entzerrer
durch. Wie groß ist die mittlere Leistung des Fehlers vor dem Quantisierer unter der
Annahme korrekter Entscheidungen
c) Nehmen Sie nun an, dass zum Zeitpunkt i = 1 fälschlicherweise das Signal d(0) = 1
im Speicher des DFE vorhanden ist. Führen Sie erneut eine Datendetektion durch. Wie
viele Fehlentscheidungen folgen und wie groß ist nun die mittlere Leistung des Fehlers
vor dem Quantisierer unter der Annahme, dass die in (b) ermittelten Entscheidungen
korrekt sind

7 WS 2007/2008 “Nachrichtenübertragung II” – Übungen
Aufgabe 6 (eq02):
Decision Feedback Equalizer
Klausur “Nachrichtentechnik” (TUHH, neue DPO) vom 08.10.03 (Aufgabe 5)
Über eine Funkstrecke werden BPSK-modulierte Symbole d(i)∈{−1, +1} übertragen. Nach
Abtastung im Symboltakt liegt am Empfänger das zeitdiskrete Signal
x(i) = {0.8 , −0.2 , 0.6 , −1.6 , −3.2} für i = 0, · · · , 4
im äquivalenten Basisband vor. Gemäß der unteren Abbildung kann das Übertragungssystem
durch einen zeitdiskreten Kanal mit der Impulsantwort
f(i) = 2δ(i) + 1.1δ(i − 1) + 1.1δ(i − 2)
und additives weißes Rauschen n(i) beschrieben werden.
n( i)
d( i) x( i)
f( i)
a) Skizzieren und entwerfen Sie einen entscheidungsrückgekoppelten Entzerrer (Decision
Feedback Equalizer: DFE) für das angegebene System.
b) Führen Sie mit dem in Aufgabenteil a) entworfenen Entzerrer eine Datendetektion
durch, wobei zum Zeitpunkt i = 0 alle Speicherelemente des DFE den Wert −1
innehaben.
c) Wie groß ist die mittlere Rauschleistung σ 2 n unter der Annahme, dass die in Aufgabenteil
b) detektierte Datenfolge dem gesendeten Signal entspricht

“Nachrichtenübertragung II” – Übungen WS 2007/2008 8
2 Viterbi
Aufgabe 7 (vit05):
Trellis-Diagramm für Kanal 3. Ordnung
Klausur “Nachrichtentechnik” (Universität Bremen) vom 24.04.96
Es erfolgt eine zweistufige Übertragung über einen gedächtnisbehafteten Kanal. Die Impulsantwort
des Symboltaktmodells des Kanals besteht aus vier Abtastwerten:
f ∗ = [f(0),f(1),f(2),f(3)] .
Geben Sie das Trellisdiagramm an. Benutzen Sie dabei zur Beschreibung der Zustände die in
der Vorlesung verwendete Nomenklatur.

9 WS 2007/2008 “Nachrichtenübertragung II” – Übungen
Aufgabe 8 (vit01):
Viterbi für QPSK
Klausur “Nachrichtentechnik” (TUHH, neue DPO) vom 10.04.03 (Aufgabe 7)
Gegeben sei eine QPSK-Übertragung im Symboltakt T mit dem Symbolalphabet
d(i)∈{−1 − j , −1 + j , +1 − j , +1 + j}.
Als Empfangs- und Sendefilter wird ein Wurzel-Kosinus-roll-off-Filter benutzt, wobei Sende
und Empfangsfilter zusammen die 1. Nyquistbedingung erfüllen. Der Mehrwegekanal ist
charakterisiert durch die Impulsantwort
c(t) = δ(t) + δ(t − T).
Die Datendetektion am Empfänger erfolgt mit Hilfe des Viterbi-Algorithmus.
a) Skizzieren Sie das dazugehörige Trellisdiagramm und bestimmen sie sämtliche Niveaus
des ungestörten Signals z µν der Zustandsübergänge in einer Tabelle.
b) Zeichnen Sie den für die Symbolsequenz
d(i) = {1 + j , 1 − j , −1 − j , −1 + j , −1 − j} ; i = 1, · · · , 5
und
d(i) = −1 − j ; i ≤ 0 und i > 5
den dazugehörigen Pfad in das Trellis-Diagramm ein.
c) Am Empfänger liegt nach der Matched Filterung das abgetastete Signal
y(i) = {1.5 + j , 2 + 0.5j , −3j , −2 , −2 + j} ; i = 1, · · · , 5
vor. Berechnen Sie für diesen Fall die Summenpfadkosten (Euklidische Distanz) des in
Aufgabenteil (b) ermittelten Pfades.

“Nachrichtenübertragung II” – Übungen WS 2007/2008 10
Aufgabe 9 (vit04):
Viterbi
Klausur “Nachrichtentechnik” (Universität Bremen) vom 12.10.00
Bei einer antipodalen Übertragung (|d(i)| = 1) mit der Symboldauer T = 15, 625 µs kommt
es infolge von Mehrwegeausbreitung zu linearen Verzerrungen. Im Symboltakt wird eine
Kanalimpulsantwort
c(i) = [+1; −2; +1]
ermittelt. Zur Detektion soll ein Viterbi-Empfänger eingesetzt werden. Die Daten sind in
Bursts angeordnet, wobei jeder Burst folgenden Aufbau hat:
d(i) = [d(0);d(1);d(2); −1; −1]
Die beiden letzten Symbole sind Tailbits. Zwischen aufeinanderfolgenden Bursts befindet sich
keine Pause.
Am Eingang des Viterbi-Entzerrers liegt nun folgende empfangene Sequenz an:
ŝ(i) = [0; 2; −2; −2; 2]
Es wird angenommen, daß es sich dabei um einen kompletten Burst handelt.
a) Wie lang ist ein Burst (in s) und welche Nutzdatenrate ist möglich
b) Zeichnen Sie das Trellisdiagramm, das zur Entzerrung eines Bursts notwendig ist.
c) Führen Sie eine MLSE mit Hilfe des in b) erzeugten Trellisdiagramms durch. Bestimmen
Sie alle erforderlichen Pfadkosten und zeichnen den Ergebnispfad in das Trellisdiagramm
ein.
d) Geben Sie die zugehörige Datensequenz ˆd(i) für i = 0...2 an.

11 WS 2007/2008 “Nachrichtenübertragung II” – Übungen
Aufgabe 10 (vit10):
Viterbi
Klausur “Nachrichtentechnik” (TUHH, neue DPO) vom 07.04.04 (Aufgabe 6)
Ein linear moduliertes Signal wird über eine Funkstrecke übertragen und dabei durch einen
frequenzselektiven Mehrwegekanal verzerrt. Um nach der Abtastung im Symboltakt die
ursprünglich gesendete Symbolfolge am Empfänger zu rekonstruieren, wird der Viterbi-
Algorithmus angewendet. Das entsprechende Trellisdiagramm ist im unteren Bild dargestellt.
S 0
S 1
S 2
S 3
S 4
S 5
S 6
S 7
(a) Lesen Sie aus dem Trellisdiagramm ab, welche lineare Modulationsform am Sender
verwendet wurde und wie viele Symboltakte das Kanalgedächtnis beinhaltet. Ordnen Sie
jedem Zustand S 0 , · · · ,S 7 des Trellisdiagramms einen geeigneten Kanalgedächtnisinhalt
entsprechend dem Modulationsalphabet zu.
(b) Bestimmen Sie die Symbolfolge d(i), die der durchgezogene Linie in der Abbildung
entspricht.
(c) Die gestrichelte Linie entspricht einem Fehlerereignis. Bestimmen Sie den Fehlervektor
e und bestimmen Sie für dieses Fehlerereignis und einem Kanal, für den sich das
Produkt der Faltungsmatrizen zu
F H F =
⎡
⎢
⎣
1 0 −0.7
0 1 0
−0.7 0 1
ergibt, den entsprechenden S/N-Velustfaktor γ 2 min .
⎤
⎥
⎦

“Nachrichtenübertragung II” – Übungen WS 2007/2008 12
Aufgabe 11 (2007-10-4):
Viterbi
Ein Datenï¿ 1bertragungssystem 2 enthï¿1lt am Sender sowie am 2 Empfï¿1 nger jeweils Wurzel-
2
Cosinus-Rolloff-Filter; der Rolloff-Faktor betrï¿ 1gt r = 1. Der frequenzselektive 2 ï¿1bertragungskanal
2
besitzt im ï¿ 1 quivalenten Tiefpassbereich die Impulsantwort
2
h(t) = δ 0 (t) − δ 0 (t − T/2),
T: Symboldauer.
a) Bestimmen Sie die ï¿ 1 quivalente Symboltakt-Impulsantwort h(i).
2
b) Am Sender wird eine Partial-Response-Codierung mit den Koeffizienten α 0 = 1,
α 1 = −1 (ohne Vorcodierung) durchgefï¿ 1 hrt. Wie lautet dann die Symboltakt-Impulsantwort
2
des Gesamtsystems
c) Die Decodierung soll mit Hilfe des Viterbi-Algorithmus durchgefï¿ 1 hrt werden. Zeichnen
2
Sie das zugehï¿ 1rige Trellisdiagramm und geben Sie 2 fï¿1r die 2 Zustandsï¿1 2 bergï¿1nge
2
die ungestï¿ 1rten Signalniveaus an; dabei seien antipodale Sendesignale d(i) ∈{−1, 1}
2
angenommen.
d) Tragen Sie den Pfad fï¿ 1 2
r die Sendefolge d(i) = {1, −1, 1, −1, 1, 1, 1} ein (beginnend
mit dem Zustand ”0”).

13 WS 2007/2008 “Nachrichtenübertragung II” – Übungen
3 Misc.
Aufgabe 12 (2007-03-ber):
Bitfehlerwahrscheinlichkeit
Für eine digitale Übertragungsstrecke soll eine Datenrate von 50 Mbit/s erreicht werden. Auf
dem Übertragungsweg überlagert sich weißes Rauschen mit der spektralen Leistungsdichte
N 0 /2 = 0.06 · T b . Es wird eine lineare Modulation mit der mittleren Symbolleistung d 2 = 1
verwendet, bevor anschließend eine rechteckförmige Impulsformung durch das Filter
⎧
⎨1/T s für 0 < t < T s
g (t) =
⎩0 sonst
vorgenommen wird.
a) Ermitteln Sie die Symboldauern T s in Sekunden, die bei Verwendung der linearen
Modulationformen BPSK, QPSK, 8-PSK und 16-QAM benötigt werden, um die
angegebene Zieldatenrate zu erreichen.
b) Welche der in a) genannten Modulationsformen können verwendet werden, wenn für
dieses System eine Bitfehlerrate von 3·10 −3 nicht überschritten werden darf Berechnen
Sie dazu die zugehörigen Bitfehlerraten. Lesen Sie die benötigten Werte der erfc-
Funktion aus der unteren Grafik ab.
Hinweis: Bedenken Sie, dass gilt
E s = d 2 · T 2 s
∫ ∞
g 2 (t) dt
−∞

“Nachrichtenübertragung II” – Übungen WS 2007/2008 14
10 0 x
10 −1
10 −2
erfc(x)
10 −3
10 −4
10 −5
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

15 WS 2007/2008 “Nachrichtenübertragung II” – Übungen
Aufgabe 13 (2007-10-3):
Bitfehlerrate
Bei einer QPSK-Datenübertragung über einen AWGN-Kanal wird am Empfänger nach
idealer kohärenter Demodulation eine Bitfehlerrate von P b = 10 −3 gemessen.
a) Ermitteln Sie hieraus das vorliegende E b /N 0 -Verhältnis in dB, wenn eine Gray-
Codierung verwendet wird.
Hinweis: Benötigte Werte der komplementären Fehlerfunktion erfc (·) entnehmen Sie
der unten stehenden Grafik.
10 −1
10 −2
erfc(x) →
10 −3
10 −4
10 −5
1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
x →
b) Wie groß ist bei diesem E b /N 0 -Verhältnis die Wahrscheinlichkeit von Doppelbitfehlern
bei QPSK
c) Um welchen Faktor kann die Datenrate erhöht werden, wenn anstatt QPSK nun
16-QAM verwendet wird Bestimmen Sie das notwendige E b /N 0 -Verhältnis in dB,
wenn dabei dieselbe Bitfehlerrate erreicht werden soll.

“Nachrichtenübertragung II” – Übungen WS 2007/2008 16
Aufgabe 14 (2007-03-mobrad):
Mobilfunkkanal
Auf ein mit v = 100 km/h fahrendes Fahrzeug treffen 3 reflektierte Funksignale gemäß der
Skizze. Die Trägerfrequenz des Funksignals sei f 0 = 2 GHz. Die relativen Verzögerungen
zwischen den einzelnen Empfangssignalen seien zunächst vernachlässigbar und die Reflexionsfaktoren
r 0 , r 1 und r 2 sind der Skizze zu entnehmen.
Hinweis: Lichtgeschwindigkeit c 0 ≈ 3 · 10 8 m/s
r 1 = 0.6
r 0 = 1
r 2 = 0.3
35 ◦ v
a) Berechnen Sie die Doppler-Frequenzen f D,ν für die drei Signalkomponenten.
b) Skizzieren Sie das gesamte Empfangsspektrum für den Fall eines unmodulierten
Sendesignals.
Die Geschwindigkeit des Fahrzeugs sei nun v = 0 km/h, so dass keine Dopplereinflüsse auftreten.
Die Empfangssignale mit den Faktoren r 1 und r 2 weisen nun relativen Verzögerungen
τ 1 ,τ 2 mit τ 2 > τ 1 zum direkten Pfad (τ 0 = 0) mit dem Faktor r 0 auf.
c) Skizzieren Sie die Impulsantwort h K (t) des Mehrwegekanals.
d) Geben Sie den Ausdruck für die Impulsantwort an und bestimmen Sie die Übertragungsfunktion
H K (jω) des Mehrwegekanals.
e) Vor der weiteren Verarbeitung im Empfänger wird das Empfangssignal zunächst mit
einem idealen Bandpass H BP (jω) mit der Mittenfrequenz f 0 und der Bandbreite
B gefiltert. Bestimmen Sie die äquivalente Tiefpaßdarstellung H TP (jω) des Gesamt-
Frequenzgangs H(jω) = H K (jω) · H BP (jω).
f) Erläutern Sie ”
kurz“, welche Auswirkungen die Echos auf den Betragsfrequenzgang
|H TP (jω)| haben.

17 WS 2007/2008 “Nachrichtenübertragung II” – Übungen
Aufgabe 15 (2007-10-mobrad):
Mobilfunkkanal
Es wird eine BPSK-Datenübertragung, d(i)∈{−1, 1}, über einen flachen Kanal mit dem
zeitvarianten Übertragungsfaktor h(k) betrachtet
y(k) = h(k) · d(k) + n(k).
Die Symboldauer beträgt T Baud = 50 ns, und das Signal-zu-Rauschleistungsverhältnis
E b
N 0
= E{|d(k)|2 }
= 7 dB. Der Kanal h(k) kann drei Zustände annehmen, in denen er durch
E{|n(k)| 2 }
die Kanalkoeffizienten
h 1 = 0, 5 · exp(jπ/4), h 2 = 0, 8 · exp(jπ/6), h 3 = 0, 1 + j0, 2
beschrieben wird. Die Zustände sind durch eine mittlere Auftrittswahrscheinlichkeit P l =
Pr{h(k) = h l } gekennzeichnet, wobei P 1 + P 2 + P 3 = 1.
Hinweis: Nehmen Sie perfekte Kanalkenntnis am Empfänger an. Die Detektion am Empfänger
wird kohärent durchgeführt. Verwenden Sie die unten stehende Grafik zur Lösung der
folgenden Aufgaben.
a) Bestimmen Sie die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit für gleichwahrscheinliche Zustände,
P 1 = P 2 = P 3 .
b) Bestimmen Sie die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit für folgende Auftrittswahrscheinlichkeiten
der Zustände:
P 1 = 0, 6, P 2 = 0, 3, P 3 = 0, 1.
c) Nehmen Sie perfekte Kanalkenntnis am Sender an. Welchen Werte nimmt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit
an, wenn der Sender nur während des stärksten Kanalkoeffizienten
sendet
d) Wie groß ist die mittlere Bitrate im Falle von c).
10 0
10 −1
10 −2
10 −3
erfc(x)
10 −4
10 −5
10 −6
10 −7
10 −8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

“Nachrichtenübertragung II” – Übungen WS 2007/2008 18
Aufgabe 16 (misc03):
MAP
Ein ASK-Signal der Form
s m (t) = ∑ i
d m (i)g T (t − iT)
mit
d 0 (i) = 0; d 1 (i) = 1 und g T (t) =
{
1/T 0 ≤ t ≤ T
0 sonst
wird im äquivalenten Basisband über einen AWGN-Kanal übertragen. Der Kanal bewirkt
eine konstante Amplitudenbewertung mit
(a) Entwickeln (Skizze) Sie für den Fall gleicher A-priori-Wahrscheinlichkeit
P(m = 0) = P(m = 1) = 1/2
aus dem allgemeinen MAP-Korrelationsempfänger eine Empfangsstruktur.
(b) Nehmen Sie nun unterschiedliche A-priori-Wahrscheinlichkeiten
P(m = 0) = 0.2 und P(m = 1) = 0.8
an und modifizieren Sie die Empfangsstruktur in Hinblick auf den optimalen MAP-
Empfänger.
(c) In welchem Falle ist die Kenntnis der Kanal-Rauschleistung erforderlich

19 WS 2007/2008 “Nachrichtenübertragung II” – Übungen
4 OFDM
Aufgabe 17 (ofdm03):
OFDM-Fehlerwahrscheinlichkeit
Klausur “Nachrichtentechnik” (Universität Bremen) vom 12.10.2000
Bei einer drahtlosen Datenübertragung kommt ein OFDM-System mit 2048 aktiven Unterträgern
zum Einsatz. Der Unterträgerabstand beträgt 250 Hz und das Guardintervall hat
eine Länge von 2 ms. Auf jedem Unterträger findet eine BPSK-Modulation statt.
a) Bestimmen Sie die Bandbreite und die Übertragungsrate des Gesamtsystems.
b) Zur Erzeugung des OFDM-Sendesignals wird eine IDFT der Länge 4096 verwendet.
Welche Abtastfrequenz hat ihr Ausgangssignal und wieviele Abtastwerte fallen in das
Guardintervall
c) Die für ein OFDM-Symbol im Sender aufgewendete Bandpaßenergie beträgt E OFDM =
1.4 Ws. Im Bandpaßbereich wird weißes, gaußförmiges Rauschen der Leistungsdichte
N 0 /2 = 6 · 10 −5 Ws überlagert. Bestimmen Sie zuerst das E b /N 0 -Verhältnis (in dB).
Geben Sie die Bitfehlerrate des Übertragungssystems an. Wie groß ist die mittlere,
vom Sender abgestrahlte Leistung Hinweis: Entnehmen Sie evtl. benötigte Werte für die
erfc-Funktion der Grafik im Lehrbuch.

“Nachrichtenübertragung II” – Übungen WS 2007/2008 20
Aufgabe 18 (ofdm04):
OFDM
Klausur “Nachrichtentechnik” (TUHH, neue DPO) vom 07.04.04 (Aufgabe 4)
Innerhalb einer Bandbreite von B = 6 MHz kommt ein OFDM-System mit N c = 16
Unterträgern zum Einsatz. Für die Übertragung der Daten wird eine 8-PSK-Modulation
eingesetzt. Die Bandbreiteneffizienz beträgt u = 0, 8.
(a) Bestimmen Sie die Datenrate R des Systems.
(b) Wie groß ist die maximale relative Verzögerung τ max , die der Übertragungskanal
aufweisen darf Begründen Sie ihre Angaben.
Die Übertragung soll nun bei gleichen Systemparametern mit einer Datenrate von R = 13, 5
Mbit/s stattfinden.
(c) Wie viele der 16 Unterträger werden benötigt, um die geforderte Datenrate zu erzielen
Bei einer Schätzung des Kanals wird folgende Impulsantwort ermittelt:
h(k) = 1 · δ(k) + 0, 5 · δ(k − 1)
(d) Welche Unterträger schlagen Sie für die Abschaltung vor
Hinweis: Der erste Unterträger liegt mit seiner Mittenfrequenz bei Ω = 0.

21 WS 2007/2008 “Nachrichtenübertragung II” – Übungen
Aufgabe 19 (ofdm06):
OFDM
Es wird ein OFDM-System mit der Bandbreite B = 10 MHz mit N Subträgern verwendet.
(a) Nehmen Sie N = 12 Subträger an.
(i) Wie groß ist der Subträgerabstand in Hz
(ii) Wie lang ist die Kernsymboldauer in Sekunden
Die Subträger werden nun in Gruppen zu jeweils vier aufeinanderfolgenden Subträgern
eingeteilt. Um Daten zu übertragen, wird in jeder Gruppe jeweils nur ein Subträger
entsprechend der Codierung in Bild 1 mit einer +1 belegt. (Die restlichen Subträger bleiben
mit einer 0 belegt.)
Unterträgerindex
0 1 2 3 4 5 6 7
N-4 N-3N-2 N-1
Codierung
00 01 11 10
1. Gruppe 2. Gruppe Letzte Gruppe
Abbildung 1: OFDM-System
Ein Beispiel ist in Bild 2 gegeben. Die Bitfolge {0, 1} soll übertragen werden, so dass in der
entsprechenden Subträgergruppe der zweite Subträger mit einer +1 belegt wird.
+1
0 0 0
Codierung
00 01 11 10
1. Gruppe
Abbildung 2: Beispiel
(b) Sie wollen die Bitfolge {0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1} innerhalb eines OFDM-Symbols übertragen.
(i) Wieviele Subträger müssen Sie verwenden
(ii) Welche Subträger belegen Sie (Skizze oder Unterträgerindex)

“Nachrichtenübertragung II” – Übungen WS 2007/2008 22
Aufgabe 20 (ofdm05):
OFDM
Klausur “Nachrichtentechnik” (TUHH, neue DPO) vom 08.10.03 (Aufgabe 8)
Für ein drahtloses Rechnernetz (WLAN, Wireless Local Area Network) soll das OFDM-
Verfahren zum Einsatz kommen. Es wird eine Übertragung mit 32 Mbit/s angestrebt. Die
maximale Länge der Kanalimpulsantwort beträgt 800 ns.
a) Bestimmen Sie den Abstand der Subträger, wenn das Guardintervall 20% der gesamten
Symboldauer betragen soll.
b) Berechnen Sie den S/N-Verlust, der sich aufgrund des Einfügens des Guardintervalls
(Verletzung der Matched-Filter-Bedingung!) ergibt.
c) Die zur Verfügung stehende Kanalbandbreite beträgt 20 MHz. Wie viele Subträger
enthält das übertragene Signal
d) Wählen Sie unter den Modulationsarten BPSK, QPSK, 8PSK, 16QAM, 64QAM
diejenige aus, mit der die oben angegebene Bitrate gerade erreicht wird. Begründen Sie
ihre Entscheidung durch eine Rechnung.

23 WS 2007/2008 “Nachrichtenübertragung II” – Übungen
Aufgabe 21 (2007-10-6):
OFDM
In der nächsten Erweiterungsstufe von UMTS-Systemen wird unter dem Namen Long Term
Evolution (LTE) das Übertragungsverfahren OFDM verwendet. Für dieses Verfahren ist eine
maximale Bandbreite von 30.72 MHz und eine FFT-Länge von 2048 vorgesehen. Die Dauer
eines OFDM-Kernsymbols ist dabei mit 66.67µs angegeben, das Guardintervall hat eine
Länge von 16.67µs.
a) Geben Sie je einen Vor- und einen Nachteil bei der Verwendung von OFDM an.
b) Bestimmen Sie den Unterträgerabstand ∆f und die Bandbreiteneffizienz β. Wie lang
darf der Delay Spread des Kanals maximal sein, wenn keine Intersymbolinterferenzen
auftreten sollen
c) Wieviel Unterträger müssen an den Rändern des OFDM-Spektrums abgeschaltet
bzw. mit Nullen belegt werden, wenn eine maximale Bandbreite von 18 MHz nicht
überschritten werden darf Bestimmen Sie die maximale Datenrate, die bei dieser
Bandbreite übertragen werden kann, wenn eine Modulationsstufigkeit von 64-QAM
verwendet wird.
d) Zur Erzeugung des OFDM-Sendesignals wird bei dieser Bandbreite weiterhin eine
IFFT der Länge 2048 verwendet. Bestimmen Sie die Abtastfrequenz des IFFT-
Ausgangssignals und wieviele Abtastwerte fallen in das Guardintervall