2.4 Kontextsensitive und Typ 0-Sprachen - UniversitÃ¤t Kassel

Kapitel 2: Automatentheorie und Formale Sprachen 

2.4 Kontextsensitive und Typ 0-Sprachen 


Definition 2.43 

Eine Typ 1 Grammatik ist in Kuroda Normalform, falls alle Regeln eine 

der folgenden 4 Formen haben: 

Dabei: A, B, C, D ∈ V und a ∈ Σ. 

Satz 2.44 

A → a, A → B, A → BC, AB → CD. 

Für jede Typ 1 Grammatik G mit ε ∉ L(G) gibt es eine Grammatik G ′ in 

Kuroda Normalform mit L(G) = L(G ′ ). 

Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 286 / 309



Beweis: 

G = (V,Σ, P, S) mit ε ∉ L(G). 

(1.) Terminalzeichen nur in Regeln der Form A → a. 

(2.) Regel A → B 1 B 2 . ..B k (k > 2) : 

A → B 1 C 2 , C 2 → B 2 C 3 , ...,C k−1 → B k−1 B k 

mit neuen Variablen C 2 , ...,C k−1 . 

(3.) Regel A 1 . ..A m → B 1 . ..B n (m + n > 4) : 

A 1 A 2 → B 1 C 2 C m → B m C m+1 

C 2 A 3 → B 2 C 3 C m+1 → B m+1 C m+2 

. 

. 

C m−1 A m → B m−1 C m C n−1 → B n−1 B n 

mit neuen Variablen C 2 , ...,C n−1 

✷ 




Turingmaschine (TM) (vgl. Kapitel 1) 

unendliches Band 

. . . 

✷ ✷ ✷ ✷ a b c # 0 1 1 0 ✷ ✷ 

Lese-/Schreibkopf 

. . . 

endliche 

Kontrolleinheit 





Eine nicht-deterministische Turingmaschine (NTM) ist gegeben durch 

ein 7-Tupel M = (Z,Σ,Γ, δ, z 0 ,✷, E): 

– Z endliche Zustandsmenge 

– Σ Eingabealphabet 

– Γ ⊃ Σ Arbeitsalphabet 

– z 0 ∈ Z Startzustand 

– ✷ ∈ Γ Σ Blank (Leerzeichen) 

– E ⊆ Z Endzustände 

– δ : Z × Γ → P(Z × Γ × {L, R, N}) Überführungsrelation 





Eine Konfiguration der NTM M ist ein Wort k ∈ Γ ∗ ZΓ + . k deckt den von 

✷ verschiedenen Teil des Bandes ab. 

Beispiel: 

10zabc ⊢ 1z ′ 0bbc 

Startkonfiguration für Eingabe x ∈ Σ ∗ : 

z 0 x 


Berechnungsrelation ⊢ : 

a 1 . ..a m zb 1 . ..b n ⊢ 

⎧ 

⎪⎨ a 1 . ..a m z ′ cb 2 . ..b n falls (z ′ , c, N) ∈ δ(z, b 1 ) (m ≥ 0, n ≥ 1) 

a 1 . ..a m cz ′ b 2 . ..b n falls (z ′ , c, R) ∈ δ(z, b 1 ) (m ≥ 0, n ≥ 2) 

⎪⎩ 

a 1 . ..a m−1 z ′ a m cb 2 . ..b n falls (z ′ , c, L) ∈ δ(z, b 1 ) (m ≥ 1, n ≥ 1) 




Sonderfälle: 

a 1 . ..a m zb 1 ⊢ a 1 . ..a m cz ′ ✷ falls (z ′ , c, R) ∈ δ(z, b 1 ). 

zb 1 . ..b n ⊢ z ′ ✷cb 2 . ..b n falls (z ′ , c, L) ∈ δ(z, b 1 ). 

Die Relation ⊢ ist im Allgemeinen nicht-deterministisch! 





Die von einer NTM M = (Z,Σ,Γ, δ, z 0 ,✷, E) akzeptierte Sprache ist 

definiert als 

T(M) := { x ∈ Σ ∗ | z 0 x ⊢ ∗ αzβ (α,β ∈ Γ ∗ , z ∈ E) }. 

Satz 2.49 

Zu jeder NTM M gibt es eine deterministische TM M ′ , sodass 

T(M ′ ) = T(M) gilt. 

Beweis: 

Eingabe: M = (Z,Σ,Γ, δ, z 0 ,✷, E) eine NTM mit |δ(z, a)| ≤ k 

für alle z ∈ Z, a ∈ Γ 

Ziel: 

Eine TM M ′ , die alle Rechnungen von M der Länge ≤ l 

zur Eingabe x ∈ Σ ∗ durchführt. 




Verfahren 

1. Numeriere die Elemente von δ(z, a) von 0 bis r − 1, r ≤ k, fest 

durch (für alle z, a). 

Ist (z, a) aktuell, so sind also r Rechenschritte möglich. 

2. Zu 0 ≤ z ≤ k l sei z l−1 . ..z 1 z 0 die k-näre Darstellung von z, also 

z = l−1 ∑ 

z i k i , 0 ≤ z i < k. 

i=0 

Dann beschreibt z folgende Rechnung der Länge l: Führe im i-ten 

Schritt den z i -ten Befehl von δ(z, a) aus, falls (z, a) aktuell ist. Hat 

δ(z, a) weniger als z i Schritte, so stoppe. 

3. Das Band habe 3 Spuren: Auf Spur 1 steht x ∈ Σ ∗ . Auf Spur 2 

wird gezählt, z = 0 bis z = k l − 1. Auf Spur 3 wird zum z auf 

Spur 2 die Rechnung ausgeführt. Zur festen Eingabe x ∈ Σ ∗ gibt 

es O(k l ) Rechnungen von M der Länge ≤ l. 




Damit kann M ′ die Sprache T(M) wie folgt akzeptieren: 

Eingabe: x ∈ Σ ∗ ; 

l := 1; 

LOOP: simuliere alle Rechnungen von M der Länge ≤ l 

zur Eingabe x; 

if keine dieser Rechnungen akzeptiert then l := l + 1; 

goto LOOP 

else halt und accept. 

Dann gilt T(M ′ ) = T(M). 

✷ 



Linear beschränkte TM (LBA) 


a 

b 

b 

a 

b 

b 

a 

Lese-/Schreibkopf 

endliche 

Kontrolleinheit 

Definition 2.50 

Eine nichtdeterministische TM M heißt linear beschränkt, wenn für alle 

a 1 a 2 . ..a n−1 a n ∈ Σ + und alle Konfigurationen αzβ mit 

z 0 a 1 a 2 . ..a n−1 â n ⊢ ∗ αzβ folgendes gilt: 

Hierbei ist Σ ′ := Σ ∪ { â | a ∈ Σ }. 

|αβ| = n. 

T(M) := { a 1 . ..a n−1 a n ∈ Σ ∗ | z 0 a 1 . ..a n−1 â n ⊢ ∗ αzβ 

(α,β ∈ Γ ∗ , z ∈ E) }. 




Satz 2.51 (Kuroda) 

Die von linear beschränkten, nichtdeterministischen TMen (LBAs) 

akzeptierten Sprachen sind genau die kontextsensitiven Sprachen. 




Beweis: 

“⇐”: 

Sei L = L(G), G = (V,Σ, P, S) eine Typ 1-Grammatik. 

Eine TM M, die L akzeptiert: 

Eingabe: x = a 1 a 2 . ..a n−1 a n ∈ Σ + . 

(W) wähle nichtdet. eine Regel (u → v) ∈ P aus; 

suche ein Vorkommen von v auf dem Band; 

if gefunden then ersetze v durch u; 

(beachte: |u| ≤ |v|) 

if Bandinhalt = S then accept 

else goto (W) 

Dann gilt: 

x ∈ L(G) gdw. 

gdw. 

gdw. 

∃Ableitung S ⇒ . .. ⇒ x 

∃Rechnung von M, die eine Ableitung 

S ⇒ . .. ⇒ x in umgekehrter Reihenfolge konstruiert 

x ∈ T(M). 

Offensichtlich ist M linear beschränkt. 




“⇒”: Sei L = T(M) für eine linear beschränkte TM M. 

Eine kontextsensitive Grammatik G = (V,Σ, P, S) für L: 

Sei ∆ := Γ ∪ (Z × Γ) : 

Konfiguration k: 

Beschreibung ˜k: 

. . . 

a 

b 

c 

d 

. . . 

a(z, b)cd ∈ ∆ + 

z 

Hilfsregeln P ′ (Simulation): 

(z ′ , b, L) ∈ δ(z, a) : c(z, a) → (z ′ , c)b ∈ P ′ (c ∈ Γ) 

(z ′ , b, R) ∈ δ(z, a) : (z, a)c → b(z ′ , c) ∈ P ′ (c ∈ Γ) 

(z ′ , b, N) ∈ δ(z, a) : (z, a) → (z ′ , b) ∈ P ′ 

Dann gilt: ∀ Konfigurationen : k ⊢ ∗ k ′ gdw. ˜k ⇒ ∗ ˜k ′ . 




V := {S, A} ∪ (∆ × Σ) 

P := { S → A(â, a) | a ∈ Σ } (1) 

∪{ A → A(a, a) | a ∈ Σ } (2) 

∪{ A → ((z 0 , a), a) | a ∈ Σ } (3) 

∪{(α 1 , a)(α 2 , b) → (β 1 , a)(β 2 , b) | α 1 α 2 → β 1 β 2 ∈ P ′ , a, b ∈ Σ } (4) 

∪{(α, a) → (β, a) | α → β ∈ P ′ , a ∈ Σ } (5) 

∪{((z, a), b) → b | z ∈ E, a ∈ Γ, b ∈ Σ } (6) 

∪{(a, b) → b | a ∈ Γ, b ∈ Σ } (7) 

S ⇒ ∗ (1−3) 

((z 0 , a 1 ), a 1 )(a 2 , a 2 )...(a n−1 , a n−1 )(â n , a n ) 

⇒ ∗ (4,5) 

(γ 1 , a 1 ) . ..(γ k−1 , a k−1 )((z, γ k ), a k )(γ k+1 , a k+1 ) . ..(γ n , a n ) 

⇒ ∗ (6,7) 

a 1 . ..a k−1 a k a k+1 . ..a n . 

Also: 

x = a 1 . ..a n ∈ T(M) gdw. x ∈ L(G). 

Offensichtlich ist G kontextsensitiv. 

✷ 




Satz 2.52 

Die durch allgemeine TMen akzeptierbaren Sprachen sind genau die 

Typ 0-Sprachen. 

LBA-Problem: 

Kann jede kontextsensitive Sprache von einer linear beschränkten, 

deterministischen TM (DLBA) akzeptiert werden, 

d.h. gilt L(LBA) = L(DLBA) 

Satz 2.53 (Immerman, Szelepcsényi) 

Die Klasse der kontextsensitiven Sprachen ist unter 

Komplementbildung abgeschlossen.

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