Teil B Komplexe Aufgaben Eingangstest 6 Konservendosen Sechs ...

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Teil B Komplexe Aufgaben
Lösungen zum Eingangstest und Übungsaufgaben
7 Gläser 1 Ein quaderförmiger Behälter besitzt die in der
Zeichnung angegebenen Innenmaße.
Ein Likörglas und
ein Rotweinglas
werden mit Wasser
gefüllt.
a) Wie viele vollständig
gefüllte
Likörgläser wer-
den benötigt, um das Rotweinglas bis zum Rand zu
füllen
b) Welcher der abgebildeten Graphen zeigt am besten,
wie sich die Höhe h des Flüssigkeitsspiegels
beim gleichmäßigen Befüllen des Rotweinglases in
Abhängigkeit von der Zeit t ändert Kreuze an.
Er wird langsam mit einer
Flüssigkeit gefüllt. Pro
Minute fließen 150 cm³
in den Behälter.
a) Welches Volumen hat der Behälter
b) Nach wie vielen Minuten ist der Behälter
voll
c) Skizziere den Graphen der Funktion f:
Zeit x (in min) › Füllhöhe y (in cm).
d) Wie lautet die zu f gehörende Funktionsgleichung
Zu a)
Zunächst muss das Volumen jedes Glases mit
einem Term beschrieben werden.
– Der Kelch des Likörglases hat die Form eines
auf die Spitze gestellten Kegels mit r = ​ 1_
2 ​x
und h = x. Also:
V Likörglas
= ​ 1__ ​· π · (​1__ ​x)² · x = ​1_ ​· π · ​1_
3 2 3 4 ​x² · x
= ​ ___ 1 ​π · x³
12
– Der Kelch des Rotweinglases hat die Form
einer Halbkugel mit r = x. Also:
V Rotweinglas
= ​ 1__ ​· ​4__ ​· π · x³ = ​2_ ​· π · x³
2 3 3
Aus (​ ___ 1 ​π · x³) 8 = ​2_ ​· π · x³ folgt: 8 randvolle
Likörgläser füllen das
12 3
Rotweinglas.
Zu b)
Je höher ein Punkt des Graphen liegt, desto
voller ist das Gefäß.
A: Zu Beginn nimmt die Füllhöhe für eine
kurze Zeit rapide, später immer allmählicher
ab.
B: Die Füllhöhe steigt zu Beginn ein wenig,
später immer stärker an.
C: Der Flüssigkeitsspiegel steigt für kurze Zeit
rasch, später immer weniger stark an.
Da das Rotweinglas nach oben zunehmend
breiter wird und in gleicher Zeit stets die gleiche
Flüssigkeitsmenge in das Glas fließt, steigt
die Füllhöhe immer langsamer an.
Deshalb: Richtig ist C.
2 Auch der folgende Behälter
wird langsam mit
einer Flüssigkeit gefüllt.
Es sollen wieder in jeder Minute 150 cm³ in
den Behälter fließen.
a) Nach wie vielen Minuten ist jetzt der Behälter
bis zum Rand gefüllt
b) Skizziere den Graph dieses Füllvorgangs im
Koordinatensystem.
3 Verschiedene Gefäße werden gleichmäßig mit
Wasser gefüllt.
a) Ordne jedem Gefäß den Graph zu, der
dessen Füllvorgang am besten darstellt.
A
B
C
D
b) Skizziere ein Gefäß,
dessen Füllvorgang zu
diesem Graphen passt.