INSTITUT FÜR INFORMATIK Entwurf und Implementierung - Ludwig ...

Anhang A Mathematische Herleitung der verwendeten Vorhersagemethoden
Liegt eine Kopplung zwischen zwei eigenständig schwingfähigen Signalen vor, die zu
einer Synchronisation führt, so besteht zwischen den Phasen der beiden Signale eine
Beziehung. Die Dierenz der Phasen ist dann beschränkt [36], und entspricht der
Bedingung
|mφ (1) (t) − nφ (2) (t)| < const .
(A.4)
Die Faktoren n, m berücksichtigen dabei, dass Synchronisation bei unterschiedlichen
Frequenzen eintreten kann. Im Folgenden werden die Faktoren m und n auf 1 gesetzt.
Ein Maÿ für die Synchronisation zweier Signale ergibt sich aus der Verteilung der
Phasendierenz. Dabei wird nicht die Dierenz selbst betrachtet, sondern in der Regel
die Dierenz modulo 2π
ψ(t) = (φ (1) (t) − φ (2) (t)) mod 2π ,
(A.5)
die möglicherweise auftretenden Phasensprüngen Rechnung trägt. Im Falle perfekt
synchronisierter Systeme ist die Phasendierenz modulo 2π konstant, was zu einem
scharfen Peak in der Verteilung der Phasendierenz führt. Bei ungekoppelten Signalen
ergibt sich hingegen eine Gleichverteilung der Phasen. Dies kann durch den normierten
Phasensynchronisationsindex [18]
R 2 = 〈cos ψ(t)〉 2 + 〈sin ψ(t)〉 2
(A.6)
quantiziert werden. Er nimmt Werte nahe bei 0 an, falls keine Beziehung zwischen
den Phasen vorliegt, und Werte bei 1, falls entsprechende Phasensynchronisation
vorliegt.
Das besondere an der Phasensynchronisation ist dabei, dass sich ein hoher Phasensynchronisationsindex
bereits bei sehr schwacher Kopplung einstellen kann. Bei solchen
Kopplungen kann eine Synchronisation z. B. der Amplituden der Signale noch
nicht nachgewiesen werden.
iv