Vorlesungsskript Kanalcodierung II - Universität Bremen
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<strong>Kanalcodierung</strong> <strong>II</strong><br />
Dr.-Ing. Volker Kühn, Dr.-Ing. Dirk Wübben<br />
Universität <strong>Bremen</strong><br />
Fachbereich 1, ANT<br />
1.3 Serielle Codeverkettung<br />
1.3.1 Vorbetrachtungen<br />
Beispiel 1: Serielle Verkettung von (3,2,2)-SPC-Code und (4,3,2)-SPC-Code<br />
Wir wollen uns anhand eines sehr einfachen Beispiels der geschickten Verkettung zweier Codes nähern. Dazu<br />
betrachten wir zunächst einen einfachen (3,2,2)-SPC-Code (Single-Parity-Check), der seriell mit einem (4,3,2)-<br />
SPC-Code verknüpft werden soll. Die Coderate des verketteten Codes beträgt R c = 2/4 = 1/2, über die<br />
Mindestdistanz muss im Folgenden diskutiert werden.<br />
u c 1<br />
c 2<br />
C 1<br />
C 2<br />
2 (3,2,2)-SPC 3 (4,3,2)-SPC 4<br />
d min = 2<br />
d min = 2<br />
Bild 1.4: Serielle Codeverkettung zweier SPC-Codes<br />
SPC-Codes hängen dem Informationswort u ein einfaches Paritätsbit an, sie besitzen also die Minimaldistanz<br />
d min = 2. Es stellt sich nun die Frage, welche Mindestdistanz die Verkettung hat. Rein anschaulich würde man<br />
eine Distanz größer als 2 vermuten. Für dieses einfache Beispiel lässt sich das Distanzspektrum noch anhand<br />
einer Tabelle erläutern.<br />
u c 1 c 2 w H (c 2 )<br />
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0<br />
0 1 0 1 1 0 1 1 0 2<br />
1 0 1 0 1 1 0 1 0 2<br />
1 1 1 1 0 1 1 0 0 2<br />
Tabelle 1.1: Codeworte der Verkettung von äußerem (3,2,2)-SPC und innerem (4,3,2)-SPC<br />
Da es sich um einen linearen Code handelt, reicht es aus, die Gewichte der Codewörter zu betrachten und nicht<br />
die Distanzen untereinander. Es ist sofort ersichtlich, dass die Mindestdistanz nach wie vor d min = 2 beträgt.<br />
Offensichtlich führt eine Verkettung von Codes nicht automatisch zu einer Verbesserung der Distanzeigenschaften.<br />
Das folgende Beispiel veranschaulicht, dass bei ungeschickter Kombination zweier Codes der Gesamtcode<br />
die freie Distanz des inneren Codes übernimmt.<br />
Beispiel 2: Serielle Verkettung von (4,3,2)-SPC (C 1 ) und (7,4,3)-Hamming-Code (C 2 )<br />
Die Coderate dieser Verkettung lautet R c = 3/7.<br />
u c 1 c 2 w H (c 2 ) ˜c 2 w H (˜c 2 )<br />
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0<br />
0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 3 0 0 0 1 1 1 1 4<br />
0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 3 0 1 1 0 0 1 1 4<br />
0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 4 0 1 1 1 1 0 0 4<br />
1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 3 1 0 1 0 1 0 1 4<br />
1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 4 1 0 1 1 0 1 0 4<br />
1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 4 1 1 0 0 1 1 0 4<br />
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 1 1 0 1 0 0 1 4<br />
Tabelle 1.2: Codeworte der Verkettung von äußerem (4,3,2)-SPC und innerem (7,4,3)-Hamming-Code (˜c 2 sind geschickt<br />
gewählte Codeworte zur Erhöhung der Mindestdistanz aufd min = 4)<br />
Der äußere (4,3,2)-SPC-Code besitzt die Mindestdistanz d (1)<br />
min<br />
= 2, während der innere (7,4,3)-Hammingcode<br />
1.3. SERIELLE CODEVERKETTUNG 5