Vorlesungsskript Kanalcodierung II - Universität Bremen

Kanalcodierung II
Dr.-Ing. Volker Kühn, Dr.-Ing. Dirk Wübben
Universität Bremen
Fachbereich 1, ANT
Aufgrund der Komplexität der Thematik und der Vielzahl von verschiedenen Spezialfällen wird im weiteren
Verlauf lediglich der AWGN-Kanal und die mit ihm verbundenen Optimierungen betrachtet.
2.3.3 Informationstheoretische Betrachtung
Um grundsätzlich zu klären, wie groß der theoretische Gewinn durch Vergrößerung des Signalraumalphabets
werden kann, kann die Kanalkapazität herangezogen werden. In Kapitel 2 des letzten Semesters wurde die Gleichung
zur Berechnung der KanalkapazitätC bei diskretem Eingangs-, aber kontinuierlichem Ausgangsalphabet
(AWGN), berechnet:
∫
C = 2 −k ·
A out
∑
ν
p y|x (ϑ|x = X ν )
p y|x (ϑ|x = X ν )·log 2
2 ·∑
−k l p dϑ. (2.14)
y|x(ϑ|x = X l )
Basierend auf den Signalraumalphabeten der bisher betrachteten Modulationsverfahren liefert Gl. (2.14) für
den AWGN-Kanal die in Bild 2.12 dargestellten Ergebnisse.
4
3.5
3
2.5
BPSK
QPSK
8−PSK
16−PSK
gauß
16−QAM
4
3.5
3
2.5
BPSK
QPSK
8−PSK
16−PSK
16−QAM
C
2
C
2
1.5
1
0.5
1.5
1
0.5
0
−10 −5 0 5 10 15 20
E s /N 0 in dB →
0
−5 0 5 10 15
E b /N 0 in dB →
Bild 2.12: Kapazität für den AWGN-Kanal und verschiedene Modulationsverfahren
Interpretation:
• Darstellung über E s /N 0 :
– Mit wachsendem M nimmt auch Kanalkapazität zu
– Für sinkenden Signal-Rausch-Abstand (E s /N 0 → −∞) strebt die Kapazität gegen Null
– Asymptotisch (E s /N 0 → ∞) strebt die Kanalkapazität gegen m, also die spektrale Effizienz
– Kontinuierlich gaußverteilte Eingangssignale weisen die maximal mögliche Kapazität auf
– 16-QAM besitzt größere Kapazität als 16-PSK (sie nutzt den Signalraum effizienter aus);
asymptotisch erreichen natürlich beide die gleiche spektrale Effizienz η = 4 bit/s/Hz
• Darstellung über E b /N 0 :
– Bedingte Wahrscheinlichkeit p(y|x) hängt von E s /N 0 ab
– Es gilt aber C = f(E s /N 0 ) = f(R c ·E b /N 0 )
−→ Soll die Kanalkapazität voll ausgeschöpft werden, erhält man fürR c = C eine implizite Gleichung,
die Punkt für Punkt nach E b /N 0 aufgelöst werden muss.
– Absolute Grenze für fehlerfreie Übertragung aus letztem Semester noch bekannt:
E b /N 0 ≈ −1.59 dB (unabhängig vom Modulationsverfahren)
2.3. PRINZIP DER CODIERTEN MODULATION 56