Vorlesungsskript Kanalcodierung II - Universität Bremen
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Kanalcodierung II Dr.-Ing. Volker Kühn, Dr.-Ing. Dirk Wübben Universität Bremen Fachbereich 1, ANT 2.3.2 Weg zur einheitlichen Betrachtung von Codierung und Modulation Zur Beantwortung der obigen Frage betrachten wir zunächst Codierung und Modulation als getrennte Einheiten. Die Kanalcodierung erfolgt mit der Rate R c = m/(m+1), bevor die Modulation m+1 codierte Bit auf ein Kanalsymbol abbildet. Die spektrale Effizient beträgt damit η = m bit/s/Hz. Im Empfänger findet dann die Demodulation und getrennt von ihr die Decodierung statt. Die Kanalcodierung muss also die größere Fehleranfälligkeit des mehrstufigen Modulationsverfahrens mehr als kompensieren, um insgesamt einen Gewinn zu erzielen! Wir wollen uns das Ergebnis anhand eines einfachen Beispiels erläutern und betrachten einen Faltungscode mit RateR c = 2/3 und Einflußlänge L c = 7, kombiniert mit der 8-PSK-Modulation. • Übergang von QPSK auf 8-PSK führt nach Bild 2.5 im uncodierten Fall zu einem Verlust von E s /N 0 = 5,3 dB (für E b /N 0 reduziert sich der Verlust auf 3,6 dB) • Codiergewinn bei obigen Faltungscode beträgt etwa 6 dB gegenüber dem uncodierten Fall (vgl. Ergebnisse aus Vorlesung Kanalcodierung I) −→ Die Bilanz ergibt nur einen kleinen Gewinn von etwa 0,7 dB Es scheint also, dass diese ’triviale’ Zuordnung von codierten Bit auf Kanalsymbole nicht die gewünschte Leistungsfähigkeit bieten kann! Dies steht im Gegensatz zur binären Übertragung, wo die Art der Zuordnung von codierten Bit auf die Kanalsymbole keinen Einfluß auf die Leistungsfähigkeit hatte. Lösung: Die Struktur des Codes muss bei der Zuordnung auf die Kanalsymbole berücksichtigt werden (s. Bild 2.10) =⇒ Kanalcodierung und Modulation verschmelzen zu einer Einheit =⇒ Codierte Modulation Digitale Quelle u Kanalencoder rc r s c x(l) Mapper r b r s Diskreter Kanal y(l) Digitale Quelle u r b TCM x(l) Diskreter Kanal y(l) Bild 2.10: Zusammenfassen von Codierung und Modulation Im Empfänger können dann Demodulation und Decodierung nicht mehr länger getrennt betrachtet werden. Der optimale Empfänger führt demnach eine Maximum-Likelihood-Sequenzschätzung durch, indem er diejenige Symbolfolge ˆx = (x 0 ··· x N−1 ) der Länge N bestimmt, die zur empfangenen Sequenz y = (y 0 ··· y N−1 ) die geringste quadratische euklidische Distanz besitzt. ˆx = argmin x ( ‖y −x‖ 2 ) (2.12) Ziel der Codierten Modulation muss es also sein, die Zuordnung von Codeworten auf die Kanalsymbole derart zu gestalten, dass die möglichen Sequenzen eine maximale euklidische Distanz untereinander aufweisen. Ferner 2.3. PRINZIP DER CODIERTEN MODULATION 54
Kanalcodierung II Dr.-Ing. Volker Kühn, Dr.-Ing. Dirk Wübben Universität Bremen Fachbereich 1, ANT wird durch Gl. (2.12) deutlich, dass der Faltungscodierer ein Gedächtnis einbringt, so dass am Empfänger ganze Symbolfolgen betrachtet werden müssen. Mit anderen Worten: Die minimale quadratische euklidische Distanz ∆ 2 f = min x (1) ,x (2) d e (x (1) ,x (2) ) = min x (1) ,x (2) ‖x (1) −x (2) ‖ 2 (2.13) zwischen zwei beliebigen Symbolfolgen x (1) undx (2) muss maximiert werden. Damit liegt ein anderes Optimierungsproblem vor als im Fall der reinen Kanalcodierung. Dort kam es darauf an, die minimale Hammingdistanz bzw. die freie Distanz, d.h. die kleinste Anzahl unterschiedlicher Symbole einer Sequenz zu maximieren. Lediglich für den binären Fall führen beide Ansätze zur identischen Ergebnissen, da hier die Anzahl unterschiedlicher Symbole direkt die euklidische Distanz bestimmt. Anmerkung zu Schwundkanälen Es sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, dass das obige Kriterium, die minimale euklidische Distanz zwischen den Sequenzen zu maximieren, nur für den AWGN-Kanal zu optimalen Ergebnissen führt. Bei Schwundkanälen, die im Bereich der Mobilfunkübertragung fast immer vorliegen, müssen andere Strategien gewählt werden. Im folgenden Beispiel werden noch einmal Rice-, Rayleigh- und AWGN-Kanal gegenübergestellt. Ohne die einzelnen Optimierungsansätze herzuleiten, sollen sie an dieser Stelle kurz erläutert werden. Der Rice-Kanal n( l) l n( l) AWGN-Kanal x( l) y( l) Rayleigh-Kanal x( l) y( l) Rice-Kanal x( l) √ 1 l n( l) y( l) 1+K (√ 1 1+K ) 2 + (√ K 1+K) 2 = 1 √ K 1+K Bild 2.11: Darstellung einiger nicht-frequenzselektiver Kanalmodelle stellt im Prinzip den allgemeinsten der drei aufgeführten Kanäle dar. Er berücksichtigt neben den schon vom Rayleigh-Kanal bekannten gestreuten Komponenten auch einen direkt ankommenden Signalanteil, wobei der Parameter K das Leistungsverhältnis zwischen direkter und gestreuten Komponenten angibt. Für den Extremfall K = 0 existiert keine direkte Komponente, wir erhalten den reinen Rayleigh-Kanal. Für K → ∞ existiert dagegen nur eine direkte Komponente und wir erhalten den AWGN-Kanal. Optimierungsstrategien: K = 0 K > 0 Reiner Rayleigh-Kanal: 1) Die Länge (Anzahl Symbole) der kürzesten Fehlersequenz muss maximiert werden. 2) Das Produkt der Pfaddistanzen entlang dieses Pfades ist zu maximieren. Rice-Kanal: Die Reihenfolge der Kriterien 1) und 2) kehrt sich mit wachsendem K allmählich um. K → ∞ AWGN-Kanal: Kleinste euklidische Distanz ist zu maximieren. 2.3. PRINZIP DER CODIERTEN MODULATION 55
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<strong>Kanalcodierung</strong> <strong>II</strong><br />
Dr.-Ing. Volker Kühn, Dr.-Ing. Dirk Wübben<br />
Universität <strong>Bremen</strong><br />
Fachbereich 1, ANT<br />
wird durch Gl. (2.12) deutlich, dass der Faltungscodierer ein Gedächtnis einbringt, so dass am Empfänger ganze<br />
Symbolfolgen betrachtet werden müssen.<br />
Mit anderen Worten:<br />
Die minimale quadratische euklidische Distanz<br />
∆ 2 f = min<br />
x (1) ,x (2) d e (x (1) ,x (2) ) = min<br />
x (1) ,x (2) ‖x (1) −x (2) ‖ 2 (2.13)<br />
zwischen zwei beliebigen Symbolfolgen x (1) undx (2) muss maximiert werden.<br />
Damit liegt ein anderes Optimierungsproblem vor als im Fall der reinen <strong>Kanalcodierung</strong>. Dort kam es darauf<br />
an, die minimale Hammingdistanz bzw. die freie Distanz, d.h. die kleinste Anzahl unterschiedlicher Symbole<br />
einer Sequenz zu maximieren. Lediglich für den binären Fall führen beide Ansätze zur identischen Ergebnissen,<br />
da hier die Anzahl unterschiedlicher Symbole direkt die euklidische Distanz bestimmt.<br />
Anmerkung zu Schwundkanälen<br />
Es sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, dass das obige Kriterium, die minimale euklidische Distanz zwischen<br />
den Sequenzen zu maximieren, nur für den AWGN-Kanal zu optimalen Ergebnissen führt. Bei Schwundkanälen,<br />
die im Bereich der Mobilfunkübertragung fast immer vorliegen, müssen andere Strategien gewählt<br />
werden.<br />
Im folgenden Beispiel werden noch einmal Rice-, Rayleigh- und AWGN-Kanal gegenübergestellt. Ohne die<br />
einzelnen Optimierungsansätze herzuleiten, sollen sie an dieser Stelle kurz erläutert werden. Der Rice-Kanal<br />
n( l) l<br />
n( l)<br />
AWGN-Kanal<br />
x( l)<br />
y( l)<br />
Rayleigh-Kanal<br />
x( l)<br />
y( l)<br />
Rice-Kanal<br />
x( l)<br />
√<br />
1<br />
l<br />
n( l)<br />
y( l)<br />
1+K (√ 1<br />
1+K<br />
) 2<br />
+<br />
(√<br />
K<br />
1+K) 2<br />
= 1<br />
√<br />
K<br />
1+K<br />
Bild 2.11: Darstellung einiger nicht-frequenzselektiver Kanalmodelle<br />
stellt im Prinzip den allgemeinsten der drei aufgeführten Kanäle dar. Er berücksichtigt neben den schon vom<br />
Rayleigh-Kanal bekannten gestreuten Komponenten auch einen direkt ankommenden Signalanteil, wobei der<br />
Parameter K das Leistungsverhältnis zwischen direkter und gestreuten Komponenten angibt. Für den Extremfall<br />
K = 0 existiert keine direkte Komponente, wir erhalten den reinen Rayleigh-Kanal. Für K → ∞ existiert<br />
dagegen nur eine direkte Komponente und wir erhalten den AWGN-Kanal.<br />
Optimierungsstrategien:<br />
K = 0<br />
K > 0<br />
Reiner Rayleigh-Kanal:<br />
1) Die Länge (Anzahl Symbole) der kürzesten Fehlersequenz muss maximiert werden.<br />
2) Das Produkt der Pfaddistanzen entlang dieses Pfades ist zu maximieren.<br />
Rice-Kanal:<br />
Die Reihenfolge der Kriterien 1) und 2) kehrt sich mit wachsendem K allmählich um.<br />
K → ∞ AWGN-Kanal:<br />
Kleinste euklidische Distanz ist zu maximieren.<br />
2.3. PRINZIP DER CODIERTEN MODULATION 55