Vorlesungsskript Kanalcodierung II - UniversitÃ¤t Bremen

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Kanalcodierung II Dr.-Ing. Volker Kühn, Dr.-Ing. Dirk Wübben Universität Bremen Fachbereich 1, ANT 4-QAM , 4-PSK (QPSK) Im 8-PSK Im ∆ 0 = 2 √ E s /(2T s ) ∆ 2 0 = 2E s/T s √ Es /T s ∆ 0 = 2sin(π/8)·√E s /T s ∆ 2 0 = 0,586E s/T s 16-PSK 16-QAM 3a √ Es /T s a √ Es /T s a = √ E s /(10T s ) Re Re Im Im √ 2 ∆ 0 = 5 ·E s/T s ∆ 2 0 = 0,4E s/T s Re ∆ 0 = 2sin(π/16)·√E s /T s -3a -a -a a 3a Re ∆ 2 0 = 0,152E s/T s -3a Bild 2.2: Signalraumdiagramme für einige hochstufige lineare Modulationsverfahren 4-QAM , 4-PSK (QPSK) Im 8-PSK Im 10 00 011 001 010 000 Re 110 100 Re 11 01 111 101 16-PSK 16-QAM Im Im 0110 0010 0111 0011 0111 0110 0010 0011 0101 0001 0100 0000 0101 0100 0000 0001 Re 1100 1000 1101 1100 1000 1001 1101 1001 1111 1110 1011 1010 1111 1110 1010 1011 Re Bild 2.3: Gray-Codierung für einige lineare Modulationsverfahren 2.2.2 Bandbreiteneffizienz linearer Modulationsverfahren Ein wichtiges Maß zur Beurteilung eines Modulationsverfahrens ist die Bandbreiteneffizienz. Sie spielt insbesondere bei der codierten Modulation eine wesentliche Rolle und hängt nicht nur von der Stufigkeit des 2.2. LINEARE DIGITALE MODULATIONSVERFAHREN 48
Kanalcodierung II Dr.-Ing. Volker Kühn, Dr.-Ing. Dirk Wübben Universität Bremen Fachbereich 1, ANT Modulationsverfahrens, sondern auch von der Impulsformung mit dem Tiefpaß g r (t) ab. Bei einer Symbolrate r s beträgt die Symboldauer T s = 1/r s , wodurch sich mit g r (t) die Bandbreite B = α T s (2.1) ergibt. Der Wertαim Zähler von Gl. (2.1) hängt dabei direkt von der Impulsformung ab. Dies soll anhand eines Beispiels verdeutlicht werden. Beispiel: Kosinus-roll-off-Impulsformung Die Impulsantwort eines Kosinus-roll-off-Filters hat bekanntermaßen die Form ( ) ( ) sin π t T s cos πr t T s g r (t) = π t · ( ) 2 = sin(ω Nt) cos(ω N rt) · T s 1− 2r t ω N t 1−(4f N rt) 2 , T s wobei f N = ω N /(2π) = 1/(2T S ) die Nyquist-Frequenz bezeichnet. Das zugehörige Spektrum lautet ⎧ ⎪⎨ 1 für |ω| ω N ≤ 1−r [ ( )] 1 G r (jω) = 2 ⎪⎩ · 1+cos π 2r ( |ω| ω N −(1−r)) für 1−r ≤ |ω| ω N ≤ 1+r . 0 für |ω| ω N ≥ 1+r Damit ergibt sich z.B. für die beiden Extremfälle r = 0 (idealer Tiefpaß) und r = 1: G r=0 (jω) = G r=1 (jω) = { 1 für |ω| ω N ≤ 1 0 sonst =⇒ B = 2f N = 1 T s = r s −→ α = 1 { ·[ )] 1 2 1+cos( π ω 2 ω N für |ω| ω N ≤ 2 0 sonst =⇒ B = 4f N = 2 T s = 2r s −→ α = 2 r=0 1 r=1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −2 −1 0 / ω 1 2 Für den idealen Tiefpaß entspricht die Bandbreite B im Übertragungsband (bei angenommener Verschiebung ins Übertragungsband durch eine Amplitudenmodulation) der Symbolrate r s bzw. dem Kehrwert der Symboldauer T s . Es ist zu beachten, dass im äquivalenten Basisband nur die Hälfte der Bandbreite benötigt wird (AM verdoppelt die Bandbreite). Ein Kosinus-roll-off-Filter mit r = 1 benötigt dagegen die doppelte Bandbreite B = 2/T s . Im weiteren Verlauf soll idealisierend stets der ideale Tiefpaß (α = 1) angenommen werden! Definition der spektralen Effizienz: η = Info-Datenrate Bandbreite = r b B = 1/T b α/T s = T s T b = m (2.2) Für den idealen Tiefpaß gilt also, dass die spektrale Effizienz η im Übertragungsband gleich der Anzahl Bit je Kanalsymbol ist. 2.2. LINEARE DIGITALE MODULATIONSVERFAHREN 49
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