Vorlesungsskript Kanalcodierung II - Universität Bremen

Kanalcodierung II
Dr.-Ing. Volker Kühn, Dr.-Ing. Dirk Wübben
Universität Bremen
Fachbereich 1, ANT
Kapitel 1
Verkettete Codes
1.1 Einführung
Motivation
Ziel der Codierungstheorie ist es, die Kanalkapazität von Shannon zu erreichen. Praktische Codes wie die im
letzten Semester behandelten Faltungs- und Blockcodes sind weit von dieser theoretischen Grenze entfernt.
Ein entscheidender Nachteil von ihnen besteht darin, dass mit zunehmender Leistungsfähigkeit auch der Decodieraufwand
ansteigt, meistens wächst er exponentiell an. Daher setzt die praktische Realisierbarkeit der Leistungsfähigkeit
dieser Codes schnell Grenzen. Zwar ist es oft nur eine Frage der Zeit, bis die Technologie einen
höheren Aufwand bei der Decodierung erlaubt. Trotzdem stellt sich die Frage, ob nur durch Vergrößerung der
Einflusslänge bei Faltungscodes bzw. der Blocklänge bei Blockcodes die Kapazität nach Shannon prinzipiell
erreicht werden kann.
Einen anderen Weg zur Konstruktion leistungsfähiger FEC-Codes zeigte Forney bereits im Jahr 1966, als er
erstmals die Verkettung einfacher Teilcodes vorstellte [For66]. Seit dieser Zeit sind gerade in den vergangenen
Jahren enorme Fortschritte zu verzeichnen gewesen. Hervorzuheben ist hier das Jahr 1993, als zum ersten Mal
die sogenannten Turbo-Codes präsentiert wurden, einer geschickten parallelen Anordnung zweier Faltungscodes,
mit denen die Kapazitätsgrenze von Shannon so dicht wie noch nie erreicht wurde (Abstand nur noch
0,5 dB bei einer Fehlerrate von P b = 10 −5 ).
Idee
Die grundlegende Idee besteht also darin, einfache Codes geschickt miteinander zu verknüpfen, so dass ein
Gesamtcode entsteht, der leistungsfähiger als die einzelnen Komponentencodes ist. Gleichzeitig muss er aber
auch einfacher zu decodieren sein. Dies soll an einem Beispiel näher erläutert werden. Die heute zur Verfügung
stehende Technologie erlaubt beispielsweise im Consumerbereich die Decodierung eines Faltungscodes mit
der Einflusslänge L c = 9, d.h. es ist ein Trellisdiagramm bestehend aus 2 8 = 256 Zuständen abzuarbeiten.
Würde man nun 2 Faltungscodes mitL c = 3 verknüpfen, ergäbe sich ein Aufwand, der einem Trellisdiagramm
von 2 · 2 2 = 8 Zuständen, also nur der 64-ste Teil des Aufwandes. Berücksichtigt man nun eine wiederholte
Decodierung des verketteten Codes (Turbo-Decodierung, z.B. 6 Iterationen, mehr dazu später), ergibt sich ein
Aufwand von 6·8 = 48 Zuständen, also immer noch weniger als ein Fünftel des ursprünglichen Aufwandes.
Ob der resultierende Gesamtcode genauso gut oder gar besser ist, wird im Folgenden ausführlich diskutiert.
Prinzipiell unterscheiden wir zwei Arten der Codeverkettung.
Serielle Verkettung
• Codes sind seriell hintereinander angeordnet
• Jeder nachfolgende Codierer codiert den gesamten Datenstrom inklusive der bereits erzeugten Redun-
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