Vorlesungsskript Kanalcodierung II - Universität Bremen
Vorlesungsskript Kanalcodierung II - Universität Bremen Vorlesungsskript Kanalcodierung II - Universität Bremen
Kanalcodierung II Dr.-Ing. Volker Kühn, Dr.-Ing. Dirk Wübben Universität Bremen Fachbereich 1, ANT L − e (û) = L | a(u) L ch y L | e(û) = L − a(u) D − L | (û) D | L − (û) Bild 1.24: Iterativer Decodierprozeß Subtraktion L e (û i ) = L(û i )−L ch y i −L a (u i ) (1.62) extrahiert werden kann. Wir erhalten somit die in Bild 1.25 skizzierte Struktur. L 2 e (û) = L1 a (u) Π −1 y D 1 L ch y+L 1 e (û) Π D 2 L 1 (û) = L ch y+L 1 e (û)+L2 e (û) L 2 (û) Bild 1.25: Iterativer Decodierprozeß für Turbo-Codes Die von den Decodierern erzeugten Soft-Werte L 1 (û) bzw.L 2 (û) setzten sich bekanntermaßen aus drei Anteilen zusammen, von denen der Anteil der a-priori-Information L a (û) subtrahiert wird. Übrig bleiben der direkte Informationsanteil der Kanalausgangswerte L ch y und die extrinsische Information L e (û), wobei letztere für den nachfolgenden Decodierer eine a-priori-Information bildet. 1.7.7 Ergebnisse zur iterativen Decodierung Im letzten Abschnitt sollen noch einmal ein paar exemplarische Ergebnisse zur iterativen Decodierung vorgestellt werden, um die recht theoretischen Herleitungen der letzten Abschnitte zu veranschaulichen. Außerdem kann die Abhängigkeit der Leistungsfähigkeit verketteter Codes von wichtigen Parametern verdeutlicht werden. Die Bilder 1.26 und 1.27 zeigen die Ergebnisse der Union-Bound-Abschätzung für drei verschiedene Produktcodes. Sie wurden aus drei Hamming-Codes konstruiert, dem (7,4)-Hamming-Code, dem (15,11)-Hamming- Code und dem (31,26)-Hamming-Code. Dabei wurde nur die Mindestdistanz d min = 5 berücksichtigt. Sie ist für alle drei Codes identisch, da Hamming-Codes stets die Mindestdistanz 3 besitzen und somit der unvollständige Produktcode die Mindestdistanz 3 + 3 − 1 = 5. Lediglich der Koeffizient c 5 aus Gl. (1.11) ist unterschiedlich, weshalb die Verläufe sich leicht unterscheiden ((7,4): c 5 = 0,5625, (15,11): c 5 = 0,2975, (31,26): c 5 = 0,1479). Asymptotisch spielt dieser Faktor keine Rolle mehr. Die Kurven sind also nur für große Signal-Rausch-Abstände genau. Trotzdem sind sie geeignet, um einige tendenzielle Aussagen zu treffen. Trägt man die Kurven über E s /N 0 auf, ergeben sich wegen (√ ) P b ≤ c 5 ·erfc 5 E s N 0 1.7. DECODIERUNG VERKETTETER CODES 38
Kanalcodierung II Dr.-Ing. Volker Kühn, Dr.-Ing. Dirk Wübben Universität Bremen Fachbereich 1, ANT 10 0 (7,4) (15,11) (31,26) 10 −2 10 −4 Pb → 10 −6 10 −8 10 −10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 E s /N 0 in dB → Bild 1.26: Union-Bound-Abschätzung (asymptotisch) für Produktcodes a) überE s /N 0 und b) überE b /N 0 10 0 (7,4) (15,11) (31,26) 10 −2 10 −4 Pb → 10 −6 10 −8 10 −10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 E b /N 0 in dB → Bild 1.27: Union-Bound-Abschätzung (asymptotisch) für Produktcodes überE b /N 0 nahezu keine Unterschiede, was aufgrund der gleichen Mindestdistanz nicht verwunderlich ist. Allerdings ist zu beachten, dass die drei Codes jeweils unterschiedliche Coderaten besitzen und somit auch die erforderliche 1.7. DECODIERUNG VERKETTETER CODES 39
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<strong>Kanalcodierung</strong> <strong>II</strong><br />
Dr.-Ing. Volker Kühn, Dr.-Ing. Dirk Wübben<br />
Universität <strong>Bremen</strong><br />
Fachbereich 1, ANT<br />
L − e (û) = L | a(u)<br />
L ch y<br />
L | e(û) = L − a(u)<br />
D − L | (û) D |<br />
L − (û)<br />
Bild 1.24: Iterativer Decodierprozeß<br />
Subtraktion<br />
L e (û i ) = L(û i )−L ch y i −L a (u i ) (1.62)<br />
extrahiert werden kann. Wir erhalten somit die in Bild 1.25 skizzierte Struktur.<br />
L 2 e (û) = L1 a (u)<br />
Π −1<br />
y<br />
D 1<br />
L ch y+L 1 e (û) Π D 2<br />
L 1 (û) = L ch y+L 1 e (û)+L2 e (û)<br />
L 2 (û)<br />
Bild 1.25: Iterativer Decodierprozeß für Turbo-Codes<br />
Die von den Decodierern erzeugten Soft-Werte L 1 (û) bzw.L 2 (û) setzten sich bekanntermaßen aus drei Anteilen<br />
zusammen, von denen der Anteil der a-priori-Information L a (û) subtrahiert wird. Übrig bleiben der direkte<br />
Informationsanteil der Kanalausgangswerte L ch y und die extrinsische Information L e (û), wobei letztere für<br />
den nachfolgenden Decodierer eine a-priori-Information bildet.<br />
1.7.7 Ergebnisse zur iterativen Decodierung<br />
Im letzten Abschnitt sollen noch einmal ein paar exemplarische Ergebnisse zur iterativen Decodierung vorgestellt<br />
werden, um die recht theoretischen Herleitungen der letzten Abschnitte zu veranschaulichen. Außerdem<br />
kann die Abhängigkeit der Leistungsfähigkeit verketteter Codes von wichtigen Parametern verdeutlicht werden.<br />
Die Bilder 1.26 und 1.27 zeigen die Ergebnisse der Union-Bound-Abschätzung für drei verschiedene Produktcodes.<br />
Sie wurden aus drei Hamming-Codes konstruiert, dem (7,4)-Hamming-Code, dem (15,11)-Hamming-<br />
Code und dem (31,26)-Hamming-Code. Dabei wurde nur die Mindestdistanz d min = 5 berücksichtigt. Sie<br />
ist für alle drei Codes identisch, da Hamming-Codes stets die Mindestdistanz 3 besitzen und somit der unvollständige<br />
Produktcode die Mindestdistanz 3 + 3 − 1 = 5. Lediglich der Koeffizient c 5 aus Gl. (1.11) ist<br />
unterschiedlich, weshalb die Verläufe sich leicht unterscheiden ((7,4): c 5 = 0,5625, (15,11): c 5 = 0,2975,<br />
(31,26): c 5 = 0,1479). Asymptotisch spielt dieser Faktor keine Rolle mehr.<br />
Die Kurven sind also nur für große Signal-Rausch-Abstände genau. Trotzdem sind sie geeignet, um einige<br />
tendenzielle Aussagen zu treffen. Trägt man die Kurven über E s /N 0 auf, ergeben sich wegen<br />
(√ )<br />
P b ≤ c 5 ·erfc 5 E s<br />
N 0<br />
1.7. DECODIERUNG VERKETTETER CODES 38
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