Vorlesungsskript Kanalcodierung II - UniversitÃ¤t Bremen

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

Kanalcodierung II Dr.-Ing. Volker Kühn, Dr.-Ing. Dirk Wübben Universität Bremen Fachbereich 1, ANT u 1 0 1 Codierung c 1 0 1 0 BPSK x -1 +1 -1 +1 AWGN y -0,8 +1,1 +0,3 +0,4 HD -1 +1 +1 +1 LLR L ch y -5,1 +7,0 +1,9 +2,5 Approximation 1 0 0 0 + + Decodierung erkennt Fehler, kann aber nicht korrigieren L e ( u) +1,5 -1,5 -2,4 -1,9 L e ( u) +1,9 -1,9 -2,5 -1,9 = = L( u) -3,6 +5,5 -0,5 +0,6 L( u) -3,2 +5,1 -0,6 +0,6 HD -1 +1 -1 +1 P( u korrekt) 0,973 0,996 0,634 0,664 0,960 0,994 0,653 0,653 i P( ui korrekt) 1 0 1 0 Fehler erkannt und korrigiert (Vorteil von Soft-Decision) Bild 1.21: Darstellung der Soft-In/Soft-Out-Decodierung für einfachen SPC-Code Da Zähler und Nenner in Gl. (1.44) für das Nullwort Eins ergeben, ist für SPC-Codes nur noch das Codewort c ′ = (11 ... 1)∈Γ ⊥ zu betrachten. Gl. (1.44) reduziert sich damit auf L(û i ) = L ch y i +ln 1+ n−1 ∏ l=0 l≠i ∏ 1− n−1 l=0 l≠i [tanh(L(y l ;c l )/2)] . (1.45) [tanh(L(y l ;c l )/2)] Mit Hilfe der Beziehung ln 1+x 1−x = 2arthanh(x) erhalten wir schließlich (vgl. auch Gl. (1.33)) ⎛ ⎞ n−1 ⎜∏ ⎟ L(û i ) = L ch y i +2arthanh⎝ [tanh(L(y l ;c l )/2)] ⎠ (1.46) n−1 ∏ ≈ L ch y i + l=0 l≠i l=0 l≠i sgn{L(y l ;c l )}·min l≠i {|L(y l;c l )|} . (1.47) Gl. (1.46) ist folgendermaßen zu interpretieren. Für alle c∈Γ gilt bekanntlich c·c ′ = 0, d.h. die Quersumme der Binärstellen voncmodulo 2 ergibt immer Null. Damit lässt sich aber jedes Bitc i aus der modulo-2-Summe 1.7. DECODIERUNG VERKETTETER CODES 28
Kanalcodierung II Dr.-Ing. Volker Kühn, Dr.-Ing. Dirk Wübben Universität Bremen Fachbereich 1, ANT aller übrigen Binärstellen berechnen c i = ( ∑ j≠i c j) mod 2. Soll diese Berechnung nun mit Soft-Werten durchgeführt werden, ist Gl. (1.33) anzuwenden, wir erhalten mit dem zweiten Term in Gl. (1.46) also die extrinsische Information über das Bitu i . Für u 0 lautet die extrinsische Information L e (û 0 ) = L e (ĉ 0 ) = L(c 1 ⊕c 2 ⊕c 3 ) und kann nach den Gleichungen (1.32), (1.33) oder (1.34) berechnet werden. Die gleichen Berechnungen werden für die übrigen Informationsbit u 2 und u 3 ausgeführt, so dass wir mit der Näherung aus Gl. (1.34) erhalten. L e (û) = (+1,9 −1,9 −2,5 −1,9) Es ist zu erkennen, dass durch die Verfälschung des Vorzeichens von x 2 für alle Stellen bis auf i = 2 die extrinsische Information eine anderes Ergebnis (Vorzeichen) liefert als die direkt empfangenen Werte. Damit kann sie das Decodierergebnis auch für diese Symbole verfälschen, vorausgesetzt, ihr Betrag ist größer als der der direkt empfangenen Werte. Auf der anderen Seite besteht die Möglichkeit, das verfälsche Vorzeichen von c 2 mit Hilfe von L e (û 2 ) zu korrigieren. Da L e (û i ) statistisch unabhängig von den direkten Komponenten L ch y i ist, können beide LLR’s addiert werden. Ob die extrinsische Information dann das Vorzeichen des in unserem Beispiel verfälschten Bits c 2 korrigieren kann und die übrigen (korrekten) nicht mehr verändert, hängt von den Beträgen der Summanden ab. Das Ergebnis lautet L(û) = L ch ·y+L e (û) = (−3,2 +5,1 −0,6 +0,6) −→ c = (1 0 1 0) . Wir erkennen, dass die Vorzeichen zwar korrekt sind, der Betrag für û 2 ist allerdings deutlich kleiner als bei den übrigen Stellen und die Entscheidung somit unsicherer. Dies wird klarer, wenn man sich die zu den LLR’s zugehörigen Wahrscheinlichkeiten anschaut (s. Bild 1.21). Die Wahrscheinlichkeit für die Richtigkeit der Vorzeichen beträgt dort nämlich nur 63,5%, während sie für die restlichen Stellen nahe Eins liegt. Das bessere Ergebnis gegenüber der Hard-Decision-Decodierung besteht nun nicht in der Verwendung von Soft-Output-Algorithmen, sondern in der Ausnutzung der weichen Ausgangswerte des Kanals (Soft-Decision- Decodierung). Die weichen Ausgangswerte des Decodierers kommen erst zu Geltung, wenn weitere nachfolgende Stufen der Signalverarbeitung gewinnbringend Gebrauch von ihnen machen können. Dies wird der nächste Abschnitt verdeutlichen. 1.7.4 BCJR-Algorithmus am Beispiel von Faltungscodes Der BCJR-Algorithmus wurde erstmals im Jahr 1972 von Bahl, Cocke, Jelinek und Raviv vorgestellt. Er stellt eine allgemeine Vorschrift zur Symbol-by-Symbol-MAP-Decodierung dar, die nicht nur zur Decodierung, sondern auch zur Entzerrung gedächtnisbehafteter Kanäle eingesetzt werden kann. Der Vorteil des BCJR- Algorithmus gegenüber der direkten Realisierung von Gl. (1.43) besteht in der effizienten Ausnutzung der Markov-Eigenschaft des Kanals bzw. des Codierers. Er setzt wie schon der Viterbi-Algorithmus die Darstellung des Systems (in unserem Fall des Kanalcodes) durch ein Trellisdiagramm voraus. Es gibt zwar auch eine Trellisrepräsentation für Blockcodes, diese müßte hier jedoch erst neu eingeführt werden. Aus diesem Grund greifen wir auf binäre 1/n-ratige Faltungscodes zurück, für die das Trellisdiagramm schon bekannt ist (s. Kanalcodierung I). Ausgangspunkt zur Symbol-by-Symbol-MAP-Decodierung ist wiederum Gl. (1.35) L(û i ) = ln p(u i = 0,y) p(u i = 1,y) . 1.7. DECODIERUNG VERKETTETER CODES 29
Seite 1 und 2: Vorlesungsskript Kanalcodierung II
Seite 3 und 4: Kanalcodierung II Dr.-Ing. Volker K
Seite 31: Kanalcodierung II Dr.-Ing. Volker K
Seite 83 und 84:
Kanalcodierung II Dr.-Ing. Volker K
Seite 85 und 86:
Seite 87 und 88:
Seite 89 und 90:
Seite 91 und 92:
Seite 93 und 94:
Seite 95 und 96:
Seite 97 und 98:
Seite 99 und 100:
Seite 101 und 102:
Seite 103 und 104:
Seite 105 und 106:
Seite 107:
Alle anzeigen

Vorlesungsskript Kanalcodierung II - UniversitÃ¤t Bremen

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?