Vorlesungsskript Kanalcodierung II - Universität Bremen

Kanalcodierung II
Dr.-Ing. Volker Kühn, Dr.-Ing. Dirk Wübben
Universität Bremen
Fachbereich 1, ANT
Mit Gl. (1.28) steht nun ein Funktional zur Verfügung, um das log-likelihood-Verhältnis der Verknüpfung zweier
statistisch unabhängiger Größen zu berechnen. Die mathematischen Umrechnungen werden in der Literatur
auch alsL-Algebra bezeichnet. Gl. (1.28) lässt sich mit Hilfe der Beziehungentanh(x/2) = (e x −1)/(e x +1)
und ln 1+x
1−x
= 2arthanh(x) in folgende Form umschreiben1
L(u 1 ⊕u 2 ) = ln 1+tanh(L(x 1)/2)·tanh(L(x 2 )/2)
1−tanh(L(x 1 )/2)·tanh(L(x 2 )/2)
= 2arthanh(tanh(L(x 1 )/2)·tanh(L(x 2 )/2))
(1.29)
= 2arthanh(λ 1 ·λ 2 ) mit λ i = tanh(L(x i )/2) . (1.30)
Durch Gl. (1.30) ist eine einfache schaltungstechnische Realisierung möglich, wie sie in Bild 1.20 dargestellt
ist. Die Eingangswerte L(x i ) stellen die Ausgangssignale des matched-Filters dar, die dann über die tanh-
Funktion nichtlinear abgebildet werden. Das Ergebnis der artanh-Funktion des Produktes stellt dann das gesuchte
LLR dar.
L( x 1
) 1/2
tanh( )
1
+1
-1
artanh( )
2
L( x · x )
1 2
L( x )
1/2
tanh( )
2
2
-1
+1
Bild 1.20: Berechnung des LLR für das Produkt zweier statistisch unabhängiger Signale
Betrachtet man den Verlauf der tanh-Funktion, so lässt sich einfach eine Approximation ableiten. Für betragsmäßig
große LLR’s gerät der tanh in die Sättigung, er strebt asymptotisch gegen ±1. Dazwischen besitzt
er einen annähernd linearen Verlauf mit einem Winkel von π/4 im Nullpunkt. Da das Produkt der λ i gebildet
wird, spielen Werte in der Nähe von ±1 für den Betrag des Ergebnisses keine Rolle, dieser wird aufgrund der
’Fast-Linearität’ durch das Minimum der Eingangsbeträge bestimmt. Das Vorzeichen ergibt sich hingegen aus
dem Produkt der einzelnen Vorzeichen. Wir erhalten also folgende vereinfachende Approximation
L(u 1 ⊕u 2 ) ≈ sgn{L(x 1 )}·sgn{L(x 2 )}·min{|L(x 1 )|,|L(x 2 )|} (1.31)
Allgemein können die Ausdrücke in den letzten Gleichungen auch für mehr als 2 Variablen angegeben werden.
Ein Beweis für die Gültigkeit kann per vollständiger Induktion erfolgen (s. Übung Kanalcodierung 2). Im
Folgenden sind für n statistisch unabhängige Symbole kurz die Ergebnisse aufgeführt.
n∏
(e L(ui) ∏
+1)+ n (e L(ui) −1)
i=1 i=1
L(u 1 ⊕...⊕u n ) = ln n∏ ∏
(e L(ui) +1)− n (1.32)
(e L(ui) −1)
i=1
i=1
∏
1+ n tanh(L(x i )/2) ( n
)
∏
i=1
= ln
∏
1− n = 2arthanh tanh(L(x i )/2)
tanh(L(x i )/2) i=1
≈
n∏
i=1
i=1
(1.33)
sgn{L(x i )}·min
i
{|L(x i )|} (1.34)
1 Die Umformung lässt sich leichter zeigen, wenn Gl. (1.28) ausgehend von Gl. (1.30) abgeleitet wird.
1.7. DECODIERUNG VERKETTETER CODES 24