Vorlesungsskript Kanalcodierung II - Universität Bremen

Kanalcodierung II
Dr.-Ing. Volker Kühn, Dr.-Ing. Dirk Wübben
Universität Bremen
Fachbereich 1, ANT
in Wahrscheinlichkeiten umrechnen, sondern können die empfangenen Werte direkt weiterverarbeiten. Eine
solche Arithmetik wird von Hagenauer als L-Algebra bezeichnet [Hag96] und im nächsten Abschnitt noch
eingehend behandelt.
Man kann natürlich aus den LLR’s auch auf die Wahrscheinlichkeiten P(x = +1) bzw. P(x = −1) zurückrechnen.
Es ergeben sich die folgenden Ausdrücke
Bezogen auf das Symbolxgilt
P(x = +1|y) =
P(x = −1|y) =
e L(ˆx)
1+e L(ˆx) (1.23)
1
. (1.24)
1+eL(ˆx) P(x = i|y) = eL(ˆx)/2
1+e L(ˆx) ·eiL(ˆx)/2 mit i ∈ {−1,+1} . (1.25)
Die Wahrscheinlichkeit für die Richtigkeit eines Empfangswertes P(ˆx korrekt) ist ebenfalls einfach zu bestimmen.
Für x = +1 liegt eine korrekte Entscheidung vor, wennL(ˆx) positiv ist, d.h.
P(ˆx korrekt|x = +1) = eL(ˆx)
1+e
Für x = −1 muss L(ˆx) hingegen negativ sein und es folgt
P(ˆx korrekt|x = −1) =
Wir erhalten also in beiden Fällen das gleiche Ergebnis
Ferner gilt für den Erwartungswert einer Datenentscheidung
1+e |L(ˆx)| .
L(ˆx)
=
e|L(ˆx)|
1
1+e L(ˆx) = 1 e|L(ˆx)|
1+e −|L(ˆx)| =
1+e |L(ˆx)| .
P(x korrekt) = e|L(ˆx)|
1+e |L(ˆx)| . (1.26)
E{ˆx} = ∑ eL(ˆx)
i·P(x = i) =
1+e L(ˆx) − 1
= tanh(L(ˆx)/2) . (1.27)
1+eL(ˆx) i=±1
1.7.2 Rechnen mit Log-Likelihood-Werten (L-Algebra)
Wie schon aus dem letzten Semester bekannt ist, werden die Prüfbit eines Codes durch modulo-2-Addition
bestimmter Informationsbit u i berechnet. Damit gewinnt auch die Berechnung der L-Werte von verknüpften
Zufallsvariablen an Bedeutung. Wir betrachten zunächst zwei statistisch unabhängige Symbolex 1 = 1−2u 1
und x 2 = 1−2u 2 . Das LLR ihrer modulo-2-Summe berechnet sich nach
L(u 1 ⊕u 2 ) = ln P(u 1 ⊕u 2 = 0)
P(u 1 ⊕u 2 = 1)
= ln P(x 1 ·x 2 = +1)
P(x 1 ·x 2 = −1)
= ln P(x 1 = +1)·P(x 2 = +1)+P(x 1 = −1)·P(x 2 = −1)
P(x 1 = +1)·P(x 2 = −1)+P(x 1 = −1)·P(x 2 = +1)
= ln P(x 1 = +1)/P(x 1 = −1)·P(x 2 = +1)/P(x 2 = −1)+1
P(x 1 = +1)/P(x 1 = −1)+P(x 2 = +1)/P(x 2 = −1)
L(x 1 ·x 2 ) = ln exp(L(x 1)+L(x 2 ))+1
exp(L(x 1 ))+exp(L(x 2 )) . (1.28)
1.7. DECODIERUNG VERKETTETER CODES 23