Vorlesungsskript Kanalcodierung II - Universität Bremen

Kanalcodierung II
Dr.-Ing. Volker Kühn, Dr.-Ing. Dirk Wübben
Universität Bremen
Fachbereich 1, ANT
1.7.1 Definition der Soft-Information
Im letzten Semester haben wir zwei verschiedene Decodierprinzipien kennengelernt, das MAP-Kriterium (Maximum
a posteriori) und das Maximum-Likelihood-Kriterium. Der Unterschied besteht darin, dass bei letzterem
alle Eingangssignale als gleichwahrscheinlich angenommen werden, während beim MAP-Kriterium eine unterschiedliche
Verteilung des Eingangsalphabets berücksichtigt wird. Da dies für die weitere Betrachtung sehr
wichtig ist, wollen wir im Folgenden stets das MAP-Kriterium verwenden, wobei die Kanalcodierung bei der
Vorstellung der Soft-Information zunächst vernachlässigt wird. Die bisherige Notation wird hier weitgehend
übernommen, so dass die logischen Bitu∈{0,1} per BPSK-Modulation den Kanalsymbolen entsprechend
bzw.
zugeordnet werden. Das MAP-Kriterium lautet damit
u = 0 → x = +1 (1.18)
u = 1 → x = −1 (1.19)
P(u = 0|y) = P(x = +1|y) < > P(u = 1|y) = P(x = −1|y) (1.20)
Mit Hilfe der Bayes-Regel können wir Gl. (1.20) umformen, wobei P(·) die Auftrittswahrscheinlichkeit eines
Symbols beschreibt, während p(·) die Wahrscheinlichkeitsdichte angibt. Wir erhalten
⇐⇒
L(ˆx) := ln
p(x = +1,y)
p(y)
p(x = +1,y) <
> 1
p(x = −1,y)
p(x = +1,y)
p(x = −1,y)
< p(x = −1,y)
>
p(y)
= ln
p(y|x = +1)
p(y|x = −1)
} {{ }
L(y|x)
+ln
P(x = +1)
P(x = −1)
} {{ }
L a (x)
<
> 0 . (1.21)
DieL-Werte in Gl. (1.21) werden log-likelihood-ratios genannt, da sie aus dem Logarithmus eines Wahrscheinlichkeitsverhältnisses
hervorgehen. Sie stellen die sogenannte Soft-Information dar, da ihr Vorzeichen eine harte
Entscheidung über das betrachtete Bitxangibt, während ihr Betrag ein Maß für die Zuverlässigkeit dieser Entscheidung
darstellt.
(log-likelihood ratio) ist ein ge-
Das logarithmische Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten ln P(u=0)
P(u=1)
eignetes Maß für die Zuverlässigkeit einer Entscheidung.
Dies heißt jedoch nicht, dass das in Gl. (1.21) dargestellte Log-Likelihood-Verhältnis die optimale Zuverlässigkeitsinformation
ist. Sie erfüllt lediglich die rein anschaulich motivierte Vorstellung einer Zuverlässigkeitsinformation,
was allerdings auch auf die Vorschrift
L(x) = P(x = +1)−P(x = −1)
zutrifft. Auch hier nimmt L positive Werte für P(x = +1) > P(x = −1) und ansonsten negative Werte an.
Trotzdem hat sich in der Praxis das LLR als Zuverlässigkeitsinformation durchgesetzt, weshalb wir es auch im
Rahmen dieser Vorlesung verwenden wollen.
Der geschätzte Soft-Wert L(ˆx) in Gl. (1.21) setzt sich bei einer uncodierten Übertragung aus zwei Anteilen zusammen,
dem TermL(y|x), der die Übergangswahrscheinlichkeiten des Kanals enthält, und dem TermL a (x),
welcher unabhängig von den Kanalausgangswerten y ist und a-priori-Wissen über das gesendete Symbolxrepräsentiert.
Ist dem Empfänger beispielsweise bekannt, mit welcher Wahrscheinlichkeit x = +1 bzw. x = −1
1.7. DECODIERUNG VERKETTETER CODES 21